Номер 27.27, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.27, страница 263.

Условие.

27.27. Найдите геометрическую прогрессию, содержащую шесть членов, если сумма трёх первых её членов равна 168, а сумма трёх последних их равна 21.

Решение.

Обозначим первый член искомой геометрической прогрессии как $b_1$, а её знаменатель — как $q$. Прогрессия состоит из шести членов: $b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, b_6$.

Согласно условию, сумма первых трёх членов равна 168. Запишем это в виде уравнения, используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$b_1 + b_2 + b_3 = 168$
$b_1 + b_1q + b_1q^2 = 168$
Вынесем $b_1$ за скобки:
$b_1(1 + q + q^2) = 168$ (1)

Также по условию, сумма трёх последних членов ($b_4, b_5, b_6$) равна 21. Запишем второе уравнение:
$b_4 + b_5 + b_6 = 21$
$b_1q^3 + b_1q^4 + b_1q^5 = 21$
Вынесем общий множитель $b_1q^3$ за скобки:
$b_1q^3(1 + q + q^2) = 21$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} b_1(1 + q + q^2) = 168 \\ b_1q^3(1 + q + q^2) = 21 \end{cases}$

Для решения системы разделим второе уравнение на первое. Так как суммы не равны нулю, то $b_1 \neq 0$ и $(1 + q + q^2) \neq 0$.
$\frac{b_1q^3(1 + q + q^2)}{b_1(1 + q + q^2)} = \frac{21}{168}$
После сокращения получаем:
$q^3 = \frac{21}{168}$
Сократим дробь в правой части:
$q^3 = \frac{1}{8}$
Из этого уравнения находим знаменатель прогрессии $q$:
$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$

Теперь, зная $q$, найдем $b_1$, подставив значение $q$ в первое уравнение:
$b_1(1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) = 168$
$b_1(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 168$
$b_1(\frac{4+2+1}{4}) = 168$
$b_1(\frac{7}{4}) = 168$
$b_1 = \frac{168 \cdot 4}{7}$
$b_1 = 24 \cdot 4 = 96$

Теперь, когда известны первый член $b_1 = 96$ и знаменатель $q = \frac{1}{2}$, мы можем найти все шесть членов прогрессии:
$b_1 = 96$
$b_2 = 96 \cdot \frac{1}{2} = 48$
$b_3 = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24$
$b_4 = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$
$b_5 = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$
$b_6 = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$

Проверка:
Сумма первых трёх членов: $96 + 48 + 24 = 168$.
Сумма последних трёх членов: $12 + 6 + 3 = 21$.
Оба условия задачи выполнены.

Ответ: 96, 48, 24, 12, 6, 3.