Номер 26.33, страница 255 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.33, страница 255.

Условие.

26.33. Двенадцатый член арифметической прогрессии равен 30. Найдите сумму двадцати трёх первых членов прогрессии.

Решение.

Пусть $(a_n)$ — заданная арифметическая прогрессия. По условию, её двенадцатый член $a_{12} = 30$. Необходимо найти сумму первых двадцати трёх её членов, $S_{23}$.

Формула для n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Для двенадцатого члена ($n=12$) имеем:

$a_{12} = a_1 + (12-1)d = a_1 + 11d$

Так как по условию $a_{12} = 30$, то получаем равенство:

$a_1 + 11d = 30$

Теперь используем формулу для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Нам нужно найти $S_{23}$, поэтому подставляем $n=23$ в формулу:

$S_{23} = \frac{2a_1 + (23-1)d}{2} \cdot 23 = \frac{2a_1 + 22d}{2} \cdot 23$

Вынесем общий множитель 2 в числителе:

$S_{23} = \frac{2(a_1 + 11d)}{2} \cdot 23$

Сократим дробь на 2:

$S_{23} = (a_1 + 11d) \cdot 23$

Из ранее полученного равенства мы знаем, что $a_1 + 11d = 30$. Подставим это значение в выражение для суммы:

$S_{23} = 30 \cdot 23 = 690$

Ответ: 690