Номер 26.27, страница 255 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.27, страница 255.

Условие.

26.27. При свободном падении (без учёта сопротивления воздуха) тело за первую секунду проходит 4,9 м, а за каждую следующую — на 9,8 м больше, чем за предыдущую. Найдите время падения тела с высоты 490 м.

Решение.

Движение тела, описанное в задаче, представляет собой последовательность расстояний, пройденных за каждую секунду. Эти расстояния образуют арифметическую прогрессию.

Первый член прогрессии ($a_1$) — это расстояние, пройденное за первую секунду: $a_1 = 4,9$ м.

Каждую следующую секунду тело проходит на 9,8 м больше, чем за предыдущую. Это значение является разностью арифметической прогрессии ($d$): $d = 9,8$ м.

Общая высота падения ($H$) равна сумме всех расстояний, пройденных за каждую секунду. Это сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии ($S_n$), где $n$ — общее время падения в секундах. По условию, $S_n = 490$ м.

Для нахождения времени падения $n$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим известные значения в формулу и решим уравнение относительно $n$:

$490 = \frac{2 \cdot 4,9 + 9,8(n-1)}{2} \cdot n$

$490 = \frac{9,8 + 9,8n - 9,8}{2} \cdot n$

$490 = \frac{9,8n}{2} \cdot n$

$490 = 4,9n^2$

Выразим $n^2$:

$n^2 = \frac{490}{4,9} = \frac{4900}{49} = 100$

Найдем $n$, извлекая квадратный корень. Так как время не может быть отрицательным, берем только положительное значение:

$n = \sqrt{100} = 10$

Следовательно, время падения тела с высоты 490 м составляет 10 секунд.

Ответ: 10 с.