Номер 26.17, страница 254 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.17, страница 254.

Условие.

26.17. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и меньших 130.

Решение.

26.17.

Все натуральные числа, кратные 4 и меньшие 130, представляют собой конечную арифметическую прогрессию.

Первый член этой прогрессии $a_1$ — это наименьшее натуральное число, кратное 4, то есть $a_1 = 4$.

Разность прогрессии $d$ также равна 4.

Последний член прогрессии $a_n$ — это наибольшее число, кратное 4, которое меньше 130. Чтобы его найти, разделим 130 на 4: $130 \div 4 = 32.5$. Наибольшее целое, не превосходящее 32.5, это 32. Следовательно, последний член прогрессии $a_n = 4 \times 32 = 128$.

Теперь найдем количество членов прогрессии $n$, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$128 = 4 + (n-1) \cdot 4$
$124 = (n-1) \cdot 4$
$n-1 = \frac{124}{4}$
$n-1 = 31$
$n = 32$

Сумму $S_n$ всех этих чисел найдем по формуле суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
$S_{32} = \frac{4 + 128}{2} \cdot 32 = \frac{132}{2} \cdot 32 = 66 \cdot 32 = 2112$.

Ответ: 2112.