Номер 29.2, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 29. Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы - номер 29.2, страница 274.

Условие.

29.2. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) $\sqrt{\frac{3}{2}}, 1, \sqrt{\frac{2}{3}}, \dots$

2) $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}, \frac{1}{2-\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, \dots$

Решение.

1) Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии необходимо определить ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$.
Первый член прогрессии: $b_1 = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
Второй член прогрессии: $b_2 = 1$.
Знаменатель прогрессии найдем как отношение второго члена к первому:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии существует, если ее знаменатель по модулю меньше единицы, то есть $|q| < 1$.
Проверим это условие: $|q| = \sqrt{\frac{2}{3}}$. Так как $0 < \frac{2}{3} < 1$, то и $0 < \sqrt{\frac{2}{3}} < 1$. Условие выполняется.
Сумма вычисляется по формуле: $S = \frac{b_1}{1-q}$.
Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу:
$S = \frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{1 - \sqrt{\frac{2}{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{3}{\sqrt{6} - 2}$.
Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{6} + 2)$:
$S = \frac{3(\sqrt{6} + 2)}{(\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} + 2)} = \frac{3\sqrt{6} + 6}{(\sqrt{6})^2 - 2^2} = \frac{3\sqrt{6} + 6}{6 - 4} = \frac{6 + 3\sqrt{6}}{2} = 3 + \frac{3}{2}\sqrt{6}$.
Ответ: $3 + \frac{3}{2}\sqrt{6}$.

2) Найдем первый член и знаменатель данной геометрической прогрессии. Для удобства вычислений упростим первые два члена.
Первый член прогрессии: $b_1 = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(\sqrt{2}+1)$:
$b_1 = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2 + 2\sqrt{2} + 1}{2-1} = 3+2\sqrt{2}$.
Второй член прогрессии: $b_2 = \frac{1}{2-\sqrt{2}}$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2+\sqrt{2})$:
$b_2 = \frac{1 \cdot (2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{2+\sqrt{2}}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2+\sqrt{2}}{4-2} = \frac{2+\sqrt{2}}{2}$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}{3+2\sqrt{2}}$. Чтобы упростить это выражение, заметим, что $3+2\sqrt{2} = (\sqrt{2}+1)^2$ и $2+\sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2}+1)$.
$q = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{2(\sqrt{2}+1)^2} = \frac{\sqrt{2}}{2(\sqrt{2}+1)}$. Умножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{2}-1)$:
$q = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{2(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2-\sqrt{2}}{2(2-1)} = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$.
Проверим условие сходимости $|q|<1$: $|q| = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$. Так как $1 < \sqrt{2} < 2$, то $0 < 2-\sqrt{2} < 1$, следовательно, $0 < q < \frac{1}{2}$. Условие выполняется.
Найдем сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$:
$1 - q = 1 - \frac{2-\sqrt{2}}{2} = \frac{2 - (2-\sqrt{2})}{2} = \frac{2-2+\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$S = \frac{3+2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2(3+2\sqrt{2})}{\sqrt{2}} = \frac{6+4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} + \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} + 4 = 3\sqrt{2} + 4$.
Ответ: $4 + 3\sqrt{2}$.