Номер 28.21, страница 268 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 28. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 28.21, страница 268.

Условие.

28.21. Найдите решения неравенства $ \sqrt{x-a} (4x-11) \ge 0 $ в зависимости от значения параметра $a$.

Решение.

Перепишем исходное неравенство в виде $\sqrt{x} \geq a(4x-11)$.

Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства определяется условием подкоренного выражения: $x \geq 0$.

Решение неравенства зависит от знака параметра $a$. Рассмотрим три случая.

Случай 1: $a = 0$

При $a=0$ неравенство принимает вид:

$\sqrt{x} \geq 0 \cdot (4x-11)$

$\sqrt{x} \geq 0$

Это неравенство справедливо для всех значений $x$ из области допустимых значений. Следовательно, решением является промежуток $[0, +\infty)$.

Случай 2: $a > 0$

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \geq g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) < 0 \end{cases}$

2) $\begin{cases} g(x) \geq 0 \\ f(x) \geq (g(x))^2 \end{cases}$

Применим этот подход к нашему неравенству $\sqrt{x} \geq a(4x-11)$ при $a>0$.

Система 1:

$\begin{cases} x \geq 0 \\ a(4x-11) < 0 \end{cases}$

Так как $a > 0$, второе неравенство равносильно $4x-11 < 0$, откуда $x < \frac{11}{4}$.

Решение первой системы: $x \in [0, \frac{11}{4})$.

Система 2:

$\begin{cases} a(4x-11) \geq 0 \\ x \geq (a(4x-11))^2 \end{cases}$

Из первого неравенства ($a > 0$) следует $4x-11 \geq 0$, то есть $x \geq \frac{11}{4}$.

Второе неравенство: $x \geq a^2(16x^2 - 88x + 121)$. Преобразуем его:

$16a^2x^2 - 88a^2x - x + 121a^2 \leq 0$

$16a^2x^2 - (88a^2 + 1)x + 121a^2 \leq 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $16a^2x^2 - (88a^2 + 1)x + 121a^2 = 0$.

Дискриминант $D = (88a^2+1)^2 - 4 \cdot 16a^2 \cdot 121a^2 = (7744a^4 + 176a^2 + 1) - 7744a^4 = 176a^2 + 1$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{88a^2+1 \pm \sqrt{176a^2+1}}{32a^2}$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($16a^2 > 0$), решением неравенства является отрезок между корнями: $[x_1, x_2]$, где $x_1 = \frac{88a^2+1 - \sqrt{176a^2+1}}{32a^2}$ и $x_2 = \frac{88a^2+1 + \sqrt{176a^2+1}}{32a^2}$.

Решение второй системы — это пересечение множеств $x \geq \frac{11}{4}$ и $x \in [x_1, x_2]$. Поскольку при $x = \frac{11}{4}$ левая часть квадратного неравенства равна $16a^2(\frac{11}{4})^2 - (88a^2+1)\frac{11}{4} + 121a^2 = -\frac{11}{4} < 0$, точка $\frac{11}{4}$ лежит между корнями $x_1$ и $x_2$. Следовательно, $x_1 < \frac{11}{4} < x_2$.

Пересечением является отрезок $[\frac{11}{4}, x_2]$.

Объединяя решения обеих систем, получаем: $[0, \frac{11}{4}) \cup [\frac{11}{4}, x_2] = [0, x_2]$.

Итак, при $a>0$ решение: $x \in [0, \frac{88a^2+1 + \sqrt{176a^2+1}}{32a^2}]$.

Случай 3: $a < 0$

Используем тот же подход.

Система 1:

$\begin{cases} x \geq 0 \\ a(4x-11) < 0 \end{cases}$

Так как $a < 0$, второе неравенство равносильно $4x-11 > 0$, откуда $x > \frac{11}{4}$.

Решение первой системы: $x \in (\frac{11}{4}, +\infty)$.

Система 2:

$\begin{cases} a(4x-11) \geq 0 \\ x \geq (a(4x-11))^2 \end{cases}$

Из первого неравенства ($a < 0$) следует $4x-11 \leq 0$, то есть $x \leq \frac{11}{4}$. Также учтем ОДЗ $x \geq 0$, получаем $x \in [0, \frac{11}{4}]$.

Второе неравенство, как и в случае $a>0$, приводит к $x \in [x_1, x_2]$, где $x_1$ и $x_2$ — те же корни.

Мы установили, что $x_1 < \frac{11}{4} < x_2$. Сумма корней $x_1+x_2 = \frac{88a^2+1}{16a^2} > 0$ и их произведение $x_1x_2 = \frac{121}{16} > 0$, поэтому оба корня положительны: $0 < x_1 < x_2$.

Решение второй системы — это пересечение множеств $x \in [0, \frac{11}{4}]$ и $x \in [x_1, x_2]$, что дает отрезок $[x_1, \frac{11}{4}]$.

Объединяя решения обеих систем, получаем: $(\frac{11}{4}, +\infty) \cup [x_1, \frac{11}{4}] = [x_1, +\infty)$.

Итак, при $a<0$ решение: $x \in [\frac{88a^2+1 - \sqrt{176a^2+1}}{32a^2}, +\infty)$.

Соберем все результаты вместе.

Ответ:
если $a < 0$, то $x \in [\frac{88a^2+1 - \sqrt{176a^2+1}}{32a^2}, +\infty)$;
если $a = 0$, то $x \in [0, +\infty)$;
если $a > 0$, то $x \in [0, \frac{88a^2+1 + \sqrt{176a^2+1}}{32a^2}]$.