Номер 29.8, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 29. Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы - номер 29.8, страница 274.

Условие.

29.8. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии ($b_n$), если:

1) $b_2 = 54$, $b_5 = 2$;

2) $b_2 - b_4 = 48$, $b_1 - b_3 = 240$.

Решение.

1)

Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии $S$ необходимо знать ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$. Формула суммы: $S = \frac{b_1}{1-q}$ (при условии, что $|q| < 1$).
Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
По условию дано: $b_2 = 54$ и $b_5 = 2$.
Составим систему уравнений, используя формулу n-го члена:
$b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 q = 54$
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 q^4 = 2$
Чтобы найти знаменатель $q$, разделим второе уравнение на первое:
$\frac{b_1 q^4}{b_1 q} = \frac{2}{54}$
$q^3 = \frac{1}{27}$
$q = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3}$
Поскольку $|q| = \frac{1}{3} < 1$, данная прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму можно найти.
Теперь найдем первый член $b_1$ из первого уравнения системы:
$b_1 q = 54$
$b_1 \cdot \frac{1}{3} = 54$
$b_1 = 54 \cdot 3 = 162$
Теперь вычислим сумму прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{162}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{162}{\frac{2}{3}} = 162 \cdot \frac{3}{2} = 81 \cdot 3 = 243$.
Ответ: 243

2)

По условию дано: $b_2 - b_4 = 48$ и $b_1 - b_3 = 240$.
Выразим все члены прогрессии через $b_1$ и $q$, используя формулу $b_n = b_1 q^{n-1}$:
$b_2 = b_1 q$
$b_3 = b_1 q^2$
$b_4 = b_1 q^3$
Подставим эти выражения в данные уравнения и получим систему:
$b_1 q - b_1 q^3 = 48$
$b_1 - b_1 q^2 = 240$
Вынесем общие множители за скобки:
$b_1 q(1 - q^2) = 48$
$b_1(1 - q^2) = 240$
Разделим первое уравнение на второе, чтобы найти $q$:
$\frac{b_1 q(1 - q^2)}{b_1 (1 - q^2)} = \frac{48}{240}$
$q = \frac{48}{240} = \frac{1}{5}$
Поскольку $|q| = \frac{1}{5} < 1$, сумму прогрессии можно найти.
Найдем $b_1$ из второго уравнения системы:
$b_1(1 - q^2) = 240$
$b_1(1 - (\frac{1}{5})^2) = 240$
$b_1(1 - \frac{1}{25}) = 240$
$b_1(\frac{24}{25}) = 240$
$b_1 = 240 \cdot \frac{25}{24} = 10 \cdot 25 = 250$
Вычислим сумму прогрессии по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S = \frac{250}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{250}{\frac{4}{5}} = 250 \cdot \frac{5}{4} = \frac{1250}{4} = 312.5$.
Ответ: 312.5