Номер 29.10, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 29. Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы - номер 29.10, страница 274.

Условие.

29.10. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 2, а сумма четырёх её первых членов равна $1 \frac{7}{8}$. Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.

Решение.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Для существования суммы бесконечной геометрической прогрессии необходимо, чтобы $|q| < 1$.

Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1-q}$.
Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.

Согласно условию, имеем систему уравнений:
1) $S = \frac{b_1}{1-q} = 2$
2) $S_4 = \frac{b_1(1-q^4)}{1-q} = 1 \frac{7}{8}$

Заметим, что второе уравнение можно переписать, используя первое:
$S_4 = (\frac{b_1}{1-q}) \cdot (1-q^4) = S \cdot (1-q^4)$

Подставим известные значения $S=2$ и $S_4 = 1 \frac{7}{8} = \frac{15}{8}$:
$2 \cdot (1-q^4) = \frac{15}{8}$

Решим это уравнение относительно $q$:
$1 - q^4 = \frac{15}{16}$
$q^4 = 1 - \frac{15}{16}$
$q^4 = \frac{1}{16}$
Это уравнение имеет два действительных корня: $q = \frac{1}{2}$ и $q = -\frac{1}{2}$. Оба значения удовлетворяют условию $|q|<1$.

Теперь найдем соответствующее значение $b_1$ для каждого найденного $q$, используя уравнение $b_1 = 2(1-q)$.

Случай 1: $q = \frac{1}{2}$
$b_1 = 2(1 - \frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
Таким образом, первая пара решений: первый член равен 1, знаменатель равен $\frac{1}{2}$.

Случай 2: $q = -\frac{1}{2}$
$b_1 = 2(1 - (-\frac{1}{2})) = 2(1 + \frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$.
Таким образом, вторая пара решений: первый член равен 3, знаменатель равен $-\frac{1}{2}$.

Ответ: первый член равен 1 и знаменатель равен $\frac{1}{2}$, или первый член равен 3 и знаменатель равен $-\frac{1}{2}$.