Номер 29.11, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 29. Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы - номер 29.11, страница 275.

Условие.

29.11. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 256, а сумма трёх её первых членов равна 252. Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.

Решение.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии ($|q| < 1$) вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Сумма первых трёх её членов равна $S_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

$\begin{cases} S = \frac{b_1}{1-q} = 256 \\ S_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = 252 \end{cases}$

Формулу для суммы первых трёх членов можно переписать, используя формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$. Для $n=3$ получаем:

$S_3 = \frac{b_1(1-q^3)}{1-q}$

Заметим, что $\frac{b_1}{1-q}$ — это сумма всей прогрессии $S$. Таким образом, можно записать:

$S_3 = S \cdot (1-q^3)$

Подставим известные значения $S=256$ и $S_3=252$ в это соотношение:

$252 = 256(1-q^3)$

Выразим из этого уравнения $1-q^3$:

$1-q^3 = \frac{252}{256}$

Сократим дробь в правой части (например, на 4):

$1-q^3 = \frac{63}{64}$

Теперь найдём $q^3$:

$q^3 = 1 - \frac{63}{64} = \frac{64-63}{64} = \frac{1}{64}$

Отсюда находим знаменатель прогрессии $q$, извлекая кубический корень:

$q = \sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{4}$

Найденное значение $q = 1/4$ удовлетворяет условию сходимости $|q|<1$.

Теперь, зная $q$, найдём первый член прогрессии $b_1$ из формулы для суммы всей прогрессии:

$S = \frac{b_1}{1-q} \implies b_1 = S(1-q)$

$b_1 = 256 \cdot (1 - \frac{1}{4}) = 256 \cdot \frac{3}{4} = 64 \cdot 3 = 192$

Ответ: первый член равен 192, знаменатель равен 1/4.