Номер 25.41, страница 250 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.41, страница 250.

Условие.

25.41. Найдите все арифметические прогрессии с разностью 2, состоящие из простых чисел и имеющие не менее трёх членов.

Решение.

Пусть искомая арифметическая прогрессия $(a_n)$ имеет разность $d=2$ и состоит из простых чисел. По условию, в ней должно быть не менее трёх членов, то есть число членов $n \ge 3$.

Рассмотрим первые три члена прогрессии: $a_1$, $a_2 = a_1 + 2$, $a_3 = a_1 + 4$. Все они должны быть простыми числами.

Рассмотрим остатки от деления этих трёх чисел на 3. Любое простое число, кроме 3, не делится на 3. Среди любых трёх последовательных нечётных чисел одно обязательно делится на 3. Докажем это.
Пусть первый член прогрессии $a_1$ — простое число.
Возможны три случая для остатка от деления $a_1$ на 3:

1. $a_1$ делится на 3.
Поскольку $a_1$ — простое число, то оно может быть равно только 3. Проверим, подходит ли такая прогрессия под условия задачи.
$a_1 = 3$ (простое число).
$a_2 = 3 + 2 = 5$ (простое число).
$a_3 = 5 + 2 = 7$ (простое число).
Прогрессия 3, 5, 7 состоит из трёх простых чисел. Проверим четвёртый член:
$a_4 = 7 + 2 = 9$.
Число 9 не является простым ($9 = 3 \cdot 3$), поэтому прогрессия, состоящая только из простых чисел, не может содержать четыре или более члена. Прогрессия (3, 5, 7) удовлетворяет условию, так как имеет 3 члена.

2. $a_1$ при делении на 3 даёт остаток 1.
Это можно записать как $a_1 \equiv 1 \pmod{3}$. Тогда второй член прогрессии $a_2 = a_1 + 2$ будет иметь остаток $1 + 2 = 3$, то есть $a_2 \equiv 0 \pmod{3}$.
Это означает, что $a_2$ делится на 3. Поскольку $a_2$ должно быть простым числом, оно должно быть равно 3.
Если $a_2 = 3$, то $a_1 = a_2 - 2 = 3 - 2 = 1$. Но 1 не является простым числом.
Следовательно, этот случай невозможен.

3. $a_1$ при делении на 3 даёт остаток 2.
Это можно записать как $a_1 \equiv 2 \pmod{3}$. Тогда третий член прогрессии $a_3 = a_1 + 4$ будет иметь остаток $2 + 4 = 6$, то есть $a_3 \equiv 0 \pmod{3}$.
Это означает, что $a_3$ делится на 3. Поскольку $a_3$ должно быть простым числом, оно должно быть равно 3.
Если $a_3 = 3$, то $a_1 = a_3 - 4 = 3 - 4 = -1$. Но -1 не является простым числом.
Следовательно, этот случай также невозможен.

Единственный случай, который даёт решение, — это когда первый член прогрессии равен 3. Мы выяснили, что эта прогрессия может состоять только из трёх членов.

Ответ: существует только одна такая арифметическая прогрессия: (3, 5, 7).