Номер 25.39, страница 250 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.39, страница 250.

Условие.

25.39. Докажите, что если числа $a, b, c$ — три последовательных члена арифметической прогрессии, то значения выражений $a^2 + ab + b^2$, $a^2 + ac + c^2$, $b^2 + bc + c^2$ также являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Решение.

Пусть числа $a$, $b$, $c$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Обозначим разность этой прогрессии через $d$. Тогда по определению арифметической прогрессии справедливы равенства:
$b - a = d$
$c - b = d$

Нам необходимо доказать, что значения выражений $a^2 + ab + b^2$, $a^2 + ac + c^2$ и $b^2 + bc + c^2$ также являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Для того чтобы доказать, что три числа образуют арифметическую прогрессию, достаточно показать, что разность между вторым и первым членом равна разности между третьим и вторым членом.

Обозначим данные выражения:
$X_1 = a^2 + ab + b^2$
$X_2 = a^2 + ac + c^2$
$X_3 = b^2 + bc + c^2$

Найдем разность между вторым и первым членами новой последовательности:
$X_2 - X_1 = (a^2 + ac + c^2) - (a^2 + ab + b^2) = a^2 + ac + c^2 - a^2 - ab - b^2 = ac - ab + c^2 - b^2$

Сгруппируем слагаемые и разложим на множители:
$a(c - b) + (c^2 - b^2) = a(c - b) + (c - b)(c + b) = (c - b)(a + b + c)$

Так как $c - b = d$, то получаем:
$X_2 - X_1 = d(a + b + c)$

Теперь найдем разность между третьим и вторым членами:
$X_3 - X_2 = (b^2 + bc + c^2) - (a^2 + ac + c^2) = b^2 + bc + c^2 - a^2 - ac - c^2 = b^2 - a^2 + bc - ac$

Сгруппируем слагаемые и разложим на множители:
$(b^2 - a^2) + c(b - a) = (b - a)(b + a) + c(b - a) = (b - a)(a + b + c)$

Так как $b - a = d$, то получаем:
$X_3 - X_2 = d(a + b + c)$

Мы получили, что $X_2 - X_1 = X_3 - X_2 = d(a + b + c)$. Поскольку разности между соседними членами равны, это доказывает, что выражения $a^2 + ab + b^2$, $a^2 + ac + c^2$ и $b^2 + bc + c^2$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ: Утверждение доказано.