Номер 25.37, страница 249 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.37, страница 249.

Условие.

25.37. Докажите, что если положительные числа $a, b \text{ и } c$ — три последовательных члена арифметической прогрессии, то

$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} = \frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$

Решение.

По условию задачи, положительные числа $a$, $b$ и $c$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Это означает, что для них выполняется характеристическое свойство арифметической прогрессии: средний член является средним арифметическим соседних членов. Математически это записывается как:

$b = \frac{a+c}{2}$

Или, что эквивалентно:

$2b = a + c$

А также, разности между соседними членами равны:

$b - a = c - b$

Нам необходимо доказать следующее равенство:

$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} = \frac{2}{\sqrt{a} + \sqrt{c}}$

Для доказательства выполним равносильные преобразования данного равенства, чтобы свести его к известному тождеству (свойству арифметической прогрессии).

Перегруппируем слагаемые в доказываемом равенстве:

$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{c}} = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{c}} - \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}}$

Теперь приведем к общему знаменателю дроби в левой и правой частях уравнения.

Преобразуем левую часть:

$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{c}) - (\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{c})} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{c} - \sqrt{a} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{c})} = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{c})}$

Преобразуем правую часть:

$\frac{(\sqrt{b} + \sqrt{c}) - (\sqrt{a} + \sqrt{c})}{(\sqrt{a} + \sqrt{c})(\sqrt{b} + \sqrt{c})} = \frac{\sqrt{b} + \sqrt{c} - \sqrt{a} - \sqrt{c}}{(\sqrt{a} + \sqrt{c})(\sqrt{b} + \sqrt{c})} = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{(\sqrt{a} + \sqrt{c})(\sqrt{b} + \sqrt{c})}$

Теперь наше равенство имеет вид:

$\frac{\sqrt{c} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{c})} = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{(\sqrt{a} + \sqrt{c})(\sqrt{b} + \sqrt{c})}$

Поскольку числа $a$ и $c$ положительные, выражение $(\sqrt{a} + \sqrt{c})$ отлично от нуля. Поэтому мы можем умножить обе части равенства на $(\sqrt{a} + \sqrt{c})$, не нарушая его.

$\frac{\sqrt{c} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{\sqrt{b} + \sqrt{c}}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$(\sqrt{c} - \sqrt{b})(\sqrt{c} + \sqrt{b}) = (\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})$

Применим к обеим частям равенства формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$(\sqrt{c})^2 - (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{b})^2 - (\sqrt{a})^2$

В результате получаем:

$c - b = b - a$

Это равенство является определением того, что числа $a$, $b$ и $c$ являются последовательными членами арифметической прогрессии, что дано в условии задачи. Так как все наши преобразования были равносильными, исходное равенство также является верным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.