Номер 25.30, страница 249 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.30, страница 249.

Условие.

25.30. Каждый член арифметической прогрессии умножили на 4. Будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией?

Решение.

Да, полученная последовательность будет арифметической прогрессией. Приведем доказательство.

Пусть исходная арифметическая прогрессия задана последовательностью $(a_n)$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии. По определению арифметической прогрессии, для любого натурального $n$ справедливо равенство: $a_{n+1} - a_n = d$, где $d$ — постоянное число.

Каждый член этой прогрессии умножили на 4, получив новую последовательность $(b_n)$. Таким образом, для любого $n$ выполняется: $b_n = 4 \cdot a_n$

Чтобы определить, является ли последовательность $(b_n)$ арифметической прогрессией, нужно проверить, является ли разность между ее соседними членами $b_{n+1}$ и $b_n$ постоянной величиной.

Найдем эту разность: $b_{n+1} - b_n = 4 \cdot a_{n+1} - 4 \cdot a_n$

Вынесем общий множитель 4 за скобки: $b_{n+1} - b_n = 4(a_{n+1} - a_n)$

Поскольку мы знаем, что $a_{n+1} - a_n = d$, подставим это значение в полученное выражение: $b_{n+1} - b_n = 4d$

Так как $d$ — это постоянное число (разность исходной прогрессии), то произведение $4d$ также является постоянным числом. Это означает, что разность между любыми двумя последовательными членами новой последовательности $(b_n)$ постоянна.

Следовательно, новая последовательность $(b_n)$ является арифметической прогрессией с первым членом $b_1 = 4a_1$ и новой разностью $d' = 4d$.

Ответ: Да, полученная последовательность будет арифметической прогрессией.