Номер 25.27, страница 249 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.27, страница 249.

Условие.

25.27. Из арифметической прогрессии исключили члены с нечётными номерами. Образуют ли оставшиеся члены арифметическую прогрессию?

Решение.

Пусть дана исходная арифметическая прогрессия $(a_n)$, где $a_1$ — её первый член, а $d$ — её разность. Формула для n-го члена этой прогрессии имеет вид:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Согласно условию задачи, из прогрессии исключили члены с нечётными номерами. Это означает, что были удалены члены $a_1, a_3, a_5, \ldots$ и т.д.

После исключения остались только члены с чётными номерами: $a_2, a_4, a_6, a_8, \ldots$

Создадим новую последовательность $(b_k)$ из оставшихся членов, где k-й член новой последовательности равен (2k)-му члену исходной:

$b_k = a_{2k}$

Таким образом:

$b_1 = a_2$

$b_2 = a_4$

$b_3 = a_6$

и так далее.

Чтобы проверить, является ли новая последовательность $(b_k)$ арифметической прогрессией, необходимо доказать, что разность между любым её членом и предыдущим является постоянной величиной. Найдём разность $b_{k+1} - b_k$.

Сначала выразим члены $b_{k+1}$ и $b_k$ через формулу n-го члена исходной прогрессии:

$b_k = a_{2k} = a_1 + (2k-1)d$

$b_{k+1} = a_{2(k+1)} = a_{2k+2} = a_1 + (2k+2 - 1)d = a_1 + (2k+1)d$

Теперь вычислим их разность:

$b_{k+1} - b_k = (a_1 + (2k+1)d) - (a_1 + (2k-1)d)$

$b_{k+1} - b_k = a_1 + 2kd + d - a_1 - 2kd + d = 2d$

Разность между двумя последовательными членами новой последовательности оказалась равной $2d$. Поскольку $d$ (разность исходной прогрессии) является константой, то величина $2d$ также является константой.

Следовательно, оставшиеся члены образуют новую арифметическую прогрессию, разность которой в два раза больше разности исходной прогрессии.

Ответ: Да, оставшиеся члены образуют арифметическую прогрессию.