Номер 25.20, страница 248 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.20, страница 248.

Условие.

25.20. В каких случаях для членов арифметической прогрессии выполняется равенство $a_1 a_4 = a_2^2$?

Решение.

Пусть дана арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Члены этой прогрессии можно выразить через $a_1$ и $d$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Выразим члены $a_2$ и $a_4$, участвующие в равенстве:

$a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d$

$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$

Теперь подставим эти выражения в заданное равенство $a_1 a_4 = a_2^2$:

$a_1(a_1 + 3d) = (a_1 + d)^2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, чтобы найти соотношение между $a_1$ и $d$:

$a_1^2 + 3a_1d = a_1^2 + 2a_1d + d^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и упростим выражение:

$a_1^2 + 3a_1d - a_1^2 - 2a_1d - d^2 = 0$

$a_1d - d^2 = 0$

Вынесем общий множитель $d$ за скобки:

$d(a_1 - d) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных случая, при которых исходное равенство выполняется.

Случай 1: $d = 0$.

Если разность прогрессии равна нулю, это означает, что все члены прогрессии равны между собой: $a_1 = a_2 = a_3 = \dots$. Такая последовательность является постоянной. В этом случае равенство $a_1 a_4 = a_2^2$ превращается в $a_1 \cdot a_1 = a_1^2$, что является верным тождеством при любом $a_1$.

Случай 2: $a_1 - d = 0$.

Это уравнение эквивалентно $a_1 = d$. То есть, первый член прогрессии равен её разности. В этом случае последовательность имеет вид $d, 2d, 3d, 4d, \dots$. Проверим исходное равенство для этого случая. Левая часть: $a_1 a_4 = d \cdot (a_1+3d) = d \cdot (d+3d) = d \cdot 4d = 4d^2$. Правая часть: $a_2^2 = (a_1+d)^2 = (d+d)^2 = (2d)^2 = 4d^2$. Так как $4d^2 = 4d^2$, равенство также выполняется.

Ответ: Равенство $a_1 a_4 = a_2^2$ для членов арифметической прогрессии выполняется в двух случаях: 1) когда разность прогрессии равна нулю ($d=0$), то есть все члены прогрессии равны; 2) когда первый член прогрессии равен её разности ($a_1=d$).