Номер 25.18, страница 248 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.18, страница 248.

Условие.

25.18. Найдите $a_1$ и разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

1) $a_3 + a_7 = 30$ и $a_6 + a_{16} = 60$;

2) $a_4 + a_{10} = 36$ и $a_5 \cdot a_{11} = 340$.

Решение.

1) Для нахождения первого члена $a_1$ и разности $d$ арифметической прогрессии $(a_n)$ воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Запишем данные условия в виде системы уравнений, выразив члены прогрессии через $a_1$ и $d$:

$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$

$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$

$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$

$a_{16} = a_1 + (16-1)d = a_1 + 15d$

Подставим эти выражения в исходные уравнения:

$a_3 + a_7 = (a_1 + 2d) + (a_1 + 6d) = 2a_1 + 8d = 30$

$a_6 + a_{16} = (a_1 + 5d) + (a_1 + 15d) = 2a_1 + 20d = 60$

Получили систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 2a_1 + 8d = 30 \\ 2a_1 + 20d = 60 \end{cases}$

Упростим систему, разделив оба уравнения на 2:

$\begin{cases} a_1 + 4d = 15 \\ a_1 + 10d = 30 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(a_1 + 10d) - (a_1 + 4d) = 30 - 15$

$6d = 15$

$d = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2.5$

Теперь найдем $a_1$, подставив значение $d$ в первое упрощенное уравнение:

$a_1 + 4 \cdot (2.5) = 15$

$a_1 + 10 = 15$

$a_1 = 5$

Ответ: $a_1 = 5$, разность прогрессии $d = 2.5$.

2) Аналогично первому пункту, используем формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$ и подставим в данные условия:

$a_4 + a_{10} = (a_1 + 3d) + (a_1 + 9d) = 2a_1 + 12d = 36$

$a_5 \cdot a_{11} = (a_1 + 4d) \cdot (a_1 + 10d) = 340$

Из первого уравнения, разделив его на 2, получаем:

$a_1 + 6d = 18$

Отсюда выразим $a_1$:

$a_1 = 18 - 6d$

Подставим это выражение для $a_1$ во второе уравнение:

$((18 - 6d) + 4d) \cdot ((18 - 6d) + 10d) = 340$

$(18 - 2d) \cdot (18 + 4d) = 340$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $d$:

$324 + 72d - 36d - 8d^2 = 340$

$-8d^2 + 36d + 324 - 340 = 0$

$-8d^2 + 36d - 16 = 0$

Разделим уравнение на -4 для упрощения:

$2d^2 - 9d + 4 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49 = 7^2$

$d_1 = \frac{-(-9) + 7}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$

$d_2 = \frac{-(-9) - 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$

Мы получили два возможных значения для разности прогрессии. Для каждого из них найдем соответствующее значение $a_1$ по формуле $a_1 = 18 - 6d$.

Случай 1: $d = 4$

$a_1 = 18 - 6 \cdot 4 = 18 - 24 = -6$

Случай 2: $d = 0.5$

$a_1 = 18 - 6 \cdot 0.5 = 18 - 3 = 15$

Таким образом, существуют две арифметические прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: $a_1 = -6$ и $d=4$, или $a_1 = 15$ и $d=0.5$.