Номер 25.19, страница 248 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.19, страница 248.

Условие.

25.19. Найдите $a_1$ и разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

1) $a_5 + a_{12} = 41$ и $a_{10} + a_{14} = 62;

2) $a_7 + a_{13} = -104$ и $a_2 \cdot a_6 = -240.

Решение.

1)

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Согласно условию, имеем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} a_5 + a_{12} = 41 \\ a_{10} + a_{14} = 62 \end{cases}$

Выразим каждый член прогрессии через $a_1$ и $d$:

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

$a_{12} = a_1 + (12-1)d = a_1 + 11d$

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$

$a_{14} = a_1 + (14-1)d = a_1 + 13d$

Подставим эти выражения в исходные уравнения и упростим их:

1) $(a_1 + 4d) + (a_1 + 11d) = 41 \implies 2a_1 + 15d = 41$

2) $(a_1 + 9d) + (a_1 + 13d) = 62 \implies 2a_1 + 22d = 62$

Получили систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 2a_1 + 15d = 41 \\ 2a_1 + 22d = 62 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $d$:

$(2a_1 + 22d) - (2a_1 + 15d) = 62 - 41$

$7d = 21$

$d = 3$

Теперь подставим найденное значение $d=3$ в первое уравнение системы, чтобы найти $a_1$:

$2a_1 + 15 \cdot 3 = 41$

$2a_1 + 45 = 41$

$2a_1 = 41 - 45$

$2a_1 = -4$

$a_1 = -2$

Ответ: $a_1 = -2$, разность $d = 3$.

2)

Используем ту же формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Из условия задачи имеем систему уравнений:

$\begin{cases} a_7 + a_{13} = -104 \\ a_2 \cdot a_6 = -240 \end{cases}$

Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$:

$a_7 = a_1 + 6d$

$a_{13} = a_1 + 12d$

$a_2 = a_1 + d$

$a_6 = a_1 + 5d$

Подставим эти выражения в систему:

$\begin{cases} (a_1 + 6d) + (a_1 + 12d) = -104 \\ (a_1 + d)(a_1 + 5d) = -240 \end{cases}$

Упростим первое уравнение:

$2a_1 + 18d = -104$

Разделим обе части уравнения на 2:

$a_1 + 9d = -52$

Отсюда выразим $a_1$ через $d$:

$a_1 = -52 - 9d$

Подставим это выражение для $a_1$ во второе уравнение системы:

$(-52 - 9d + d)(-52 - 9d + 5d) = -240$

$(-52 - 8d)(-52 - 4d) = -240$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$(-4(13 + 2d)) \cdot (-4(13 + d)) = -240$

$16(13 + 2d)(13 + d) = -240$

Разделим обе части на 16:

$(13 + 2d)(13 + d) = -15$

Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному квадратному виду:

$169 + 13d + 26d + 2d^2 = -15$

$2d^2 + 39d + 169 + 15 = 0$

$2d^2 + 39d + 184 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $d$ с помощью дискриминанта:

$\Delta = b^2 - 4ac = 39^2 - 4 \cdot 2 \cdot 184 = 1521 - 1472 = 49 = 7^2$

Найдём корни уравнения:

$d_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-39 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{-32}{4} = -8$

$d_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-39 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-46}{4} = -11,5$

Получили два возможных значения для разности прогрессии. Для каждого значения $d$ найдём соответствующее значение $a_1$, используя формулу $a_1 = -52 - 9d$.

Случай 1: Если $d = -8$, то

$a_1 = -52 - 9(-8) = -52 + 72 = 20$

Случай 2: Если $d = -11,5$, то

$a_1 = -52 - 9(-11,5) = -52 + 103,5 = 51,5$

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: $a_1 = 20$, $d = -8$ или $a_1 = 51,5$, $d = -11,5$.