Номер 25.22, страница 248 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.22, страница 248.

Условие.

25.22. Дана конечная арифметическая прогрессия $a_1, a_2, ..., a_n$. Докажите, что $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n, k \le n$.

Решение.

Для доказательства воспользуемся формулой $m$-го члена арифметической прогрессии. Пусть $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность. Тогда любой член прогрессии $a_m$ можно выразить через $a_1$ и $d$ по формуле: $a_m = a_1 + (m-1)d$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$ и выразим её члены, используя данную формулу. Для члена $a_k$ имеем: $a_k = a_1 + (k-1)d$.

Для члена $a_{n-k+1}$ имеем (здесь в качестве номера члена выступает выражение $n-k+1$): $a_{n-k+1} = a_1 + ((n-k+1)-1)d = a_1 + (n-k)d$.

Теперь сложим полученные выражения: $a_k + a_{n-k+1} = (a_1 + (k-1)d) + (a_1 + (n-k)d)$. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые: $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_1 + (k-1)d + (n-k)d = 2a_1 + (k - 1 + n - k)d = 2a_1 + (n-1)d$.

Теперь рассмотрим правую часть равенства $a_1 + a_n$. Выразим член $a_n$ по той же формуле: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим это выражение в правую часть: $a_1 + a_n = a_1 + (a_1 + (n-1)d) = 2a_1 + (n-1)d$.

Мы получили, что и левая, и правая части равенства равны одному и тому же выражению $2a_1 + (n-1)d$. Следовательно, $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$, что и требовалось доказать. Это свойство означает, что сумма двух членов конечной арифметической прогрессии, равноудаленных от её концов, постоянна и равна сумме первого и последнего членов.

Ответ: Равенство $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$ доказано.