Номер 25.24, страница 248 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.24, страница 248.

Условие.

25.24. Верно ли утверждение: если длины сторон выпуклого четырёхугольника, взятые в последовательности $a, b, d$ и $c$ (рис. 26.2), образуют арифметическую прогрессию, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность?

Рис. 26.2

Решение.

Для того чтобы в выпуклый четырёхугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противолежащих сторон были равны. Это утверждение известно как теорема Пито.

Для четырёхугольника, изображённого на рисунке, со сторонами $a$, $b$, $c$ и $d$, противолежащими сторонами являются пары ($a$, $c$) и ($b$, $d$). Таким образом, условие для вписанной окружности имеет вид:

$a + c = b + d$

По условию задачи, длины сторон, взятые в последовательности $a$, $b$, $d$ и $c$, образуют арифметическую прогрессию. Обозначим первый член этой прогрессии как $x$, а её разность как $r$. Тогда мы можем выразить длины сторон следующим образом:

• $a = x$
• $b = x + r$
• $d = x + 2r$
• $c = x + 3r$

Теперь проверим, выполняется ли для этих длин сторон условие равенства сумм противолежащих сторон.

Найдём сумму длин одной пары противолежащих сторон:

$a + c = x + (x + 3r) = 2x + 3r$

Найдём сумму длин другой пары противолежащих сторон:

$b + d = (x + r) + (x + 2r) = 2x + 3r$

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что $a + c = b + d$, так как оба выражения равны $2x + 3r$.

Поскольку условие теоремы Пито выполняется, в данный четырёхугольник можно вписать окружность. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: да, утверждение верно.