Номер 25.32, страница 249 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.32, страница 249.

Условие.

25.32. При каком значении $x$ значения выражений $x^2 - 4$, $5x + 3$ и $3x + 2$ являются последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Решение.

Для того чтобы три числа являлись последовательными членами арифметической прогрессии, необходимо и достаточно, чтобы среднее из них было средним арифметическим двух других. Если обозначить эти числа как $a_1, a_2, a_3$, то должно выполняться равенство $2a_2 = a_1 + a_3$.

При каком значении x значения выражений являются последовательными членами арифметической прогрессии?
Пусть $a_1 = x^2 - 4$, $a_2 = 5x + 3$ и $a_3 = 3x + 2$.
Применим свойство арифметической прогрессии:
$2 \cdot (5x + 3) = (x^2 - 4) + (3x + 2)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$10x + 6 = x^2 + 3x - 2$
Перенесем все члены в правую часть уравнения:
$x^2 + 3x - 10x - 2 - 6 = 0$
$x^2 - 7x - 8 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{7+9}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{81}}{2} = \frac{7-9}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Ответ: при $x=8$ или $x=-1$.

Найдите члены этой прогрессии.
Для каждого найденного значения $x$ необходимо вычислить значения членов прогрессии.
1. При $x=8$:
$a_1 = 8^2 - 4 = 64 - 4 = 60$
$a_2 = 5 \cdot 8 + 3 = 40 + 3 = 43$
$a_3 = 3 \cdot 8 + 2 = 24 + 2 = 26$
Получаем арифметическую прогрессию: 60, 43, 26.
2. При $x=-1$:
$a_1 = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$
$a_2 = 5 \cdot (-1) + 3 = -5 + 3 = -2$
$a_3 = 3 \cdot (-1) + 2 = -3 + 2 = -1$
Получаем арифметическую прогрессию: -3, -2, -1.
Ответ: при $x=8$ члены прогрессии равны 60, 43, 26; при $x=-1$ члены прогрессии равны -3, -2, -1.