Номер 25.40, страница 250 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - номер 25.40, страница 250.

Условие.

25.40. Найдите все арифметические прогрессии с разностью 10, состоящие из простых чисел и имеющие не менее трёх членов.

Решение.

Пусть искомая арифметическая прогрессия $(a_n)$ имеет первый член $a_1$ и разность $d=10$. По условию, все её члены — простые числа, и их не менее трёх. Следовательно, как минимум члены $a_1$, $a_2 = a_1 + 10$ и $a_3 = a_1 + 20$ должны быть простыми.

Рассмотрим остатки от деления этих трёх членов на 3. Поскольку разность прогрессии $d=10$, а $10 \equiv 1 \pmod{3}$, то остатки от деления членов $a_1$, $a_1+10$ и $a_1+20$ на 3 будут представлять собой три различных остатка. То есть, это будут числа $a_1 \pmod{3}$, $(a_1+1) \pmod{3}$ и $(a_1+2) \pmod{3}$, которые в некотором порядке равны 0, 1 и 2.

Это означает, что один из трёх последовательных членов прогрессии ($a_1$, $a_2$ или $a_3$) обязательно должен делиться на 3. Так как по условию все члены прогрессии — простые числа, а единственное простое число, делящееся на 3, это само число 3, то один из этих членов должен быть равен 3.

Рассмотрим три возможных варианта:
1. Если первый член $a_1 = 3$, то прогрессия начинается с 3. Второй член $a_2 = 3 + 10 = 13$ (простое число). Третий член $a_3 = 13 + 10 = 23$ (простое число). Таким образом, мы получаем последовательность (3, 13, 23), которая удовлетворяет условию (не менее трёх членов). Проверим четвёртый член: $a_4 = 23 + 10 = 33$. Число 33 не является простым ($33 = 3 \cdot 11$), поэтому прогрессия не может содержать более трёх членов. Итак, (3, 13, 23) — это одна из искомых прогрессий.
2. Если второй член $a_2 = 3$, то $a_1 + 10 = 3$, откуда $a_1 = -7$. Простое число по определению является натуральным числом больше 1, поэтому -7 не является простым. Этот вариант не подходит.
3. Если третий член $a_3 = 3$, то $a_1 + 20 = 3$, откуда $a_1 = -17$. Этот вариант также не подходит, так как -17 не является простым числом.

Мы показали, что любой отрезок из трёх последовательных членов прогрессии должен содержать число 3. Если какой-либо член $a_k = 3$ при $k > 1$, то предыдущий член $a_{k-1} = 3 - 10 = -7$, что невозможно. Следовательно, число 3 может быть только первым членом прогрессии.

Таким образом, существует только одна такая арифметическая прогрессия.

Ответ: (3, 13, 23).