Вопросы?, страница 247 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 25. Арифметическая прогрессия - страница 247.

Условие.

1. Какую последовательность называют арифметической прогрессией?

2. Какое число называют разностью арифметической прогрессии? Как обозначают это число?

3. Как можно задать арифметическую прогрессию рекуррентно?

4. Что надо указать, чтобы задать арифметическую прогрессию?

5. Какой вид имеет формула n-го члена арифметической прогрессии?

6. Каковы необходимое и достаточное условия того, что данная последовательность, содержащая более двух членов, является арифметической прогрессией?

Решение.

1. Какую последовательность называют арифметической прогрессией?

Арифметической прогрессией называют числовую последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это постоянное число называется разностью прогрессии.
Ответ: последовательность $(a_n)$, для которой при любом натуральном $n$ выполняется равенство $a_{n+1} = a_n + d$, где $d$ — некоторое постоянное число.

2. Какое число называют разностью арифметической прогрессии? Как обозначают это число?

Разностью арифметической прогрессии называют постоянное число, на которое каждый следующий член последовательности отличается от предыдущего. Его можно найти, вычтя из любого члена прогрессии (начиная со второго) предыдущий член. Обозначают это число латинской буквой $d$.
Ответ: число $d$, такое что $d = a_{n+1} - a_n$. Обозначается буквой $d$.

3. Как можно задать арифметическую прогрессию рекуррентно?

Рекуррентный способ задания последовательности означает, что каждый следующий член выражается через предыдущие. Для арифметической прогрессии это можно сделать, указав ее первый член и формулу для нахождения $(n+1)$-го члена через $n$-й.
Ответ: необходимо задать первый член $a_1$ и рекуррентную формулу $a_{n+1} = a_n + d$.

4. Что надо указать, чтобы задать арифметическую прогрессию?

Чтобы однозначно определить арифметическую прогрессию, то есть иметь возможность найти любой ее член, необходимо и достаточно знать ее начальное значение и шаг, с которым изменяются ее члены.
Ответ: нужно указать первый член прогрессии $a_1$ и ее разность $d$.

5. Какой вид имеет формула $n$-го члена арифметической прогрессии?

Существует формула, которая позволяет вычислить любой член арифметической прогрессии по его номеру $n$, зная первый член $a_1$ и разность $d$, без необходимости вычислять все предыдущие члены.
Ответ: формула $n$-го члена имеет вид $a_n = a_1 + d(n-1)$.

6. Каковы необходимое и достаточное условия того, что данная последовательность, содержащая более двух членов, является арифметической прогрессией?

Существует характеристическое свойство арифметической прогрессии, которое является необходимым и достаточным условием. Оно связывает любой член прогрессии с его соседями. Последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член (кроме первого и последнего, если последовательность конечна) является средним арифметическим предыдущего и последующего членов.
Ответ: для любого $n \ge 2$ должно выполняться условие $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$.