Номер 24.24, страница 239 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 24. Числовые последовательности - номер 24.24, страница 239.

Условие.

24.24. Последовательность задана рекуррентно: $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2 + n$. Докажите, что в этой последовательности все члены, кроме первого, не являются квадратами натуральных чисел.

Решение.

Дана последовательность, где $a_1 = 1$ и $a_{n+1} = a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2 + n$. Требуется доказать, что все её члены, кроме первого, не являются квадратами натуральных чисел.

1. Вычислим первые несколько членов последовательности:

$a_1 = 1$. Это квадрат натурального числа ($1^2$), что является исключением, указанным в условии.

При $n=1$:

$a_2 = a_1^2 + 1 = 1^2 + 1 = 2$. Число 2 не является квадратом натурального числа.

При $n=2$:

$a_3 = a_1^2 + a_2^2 + 2 = 1^2 + 2^2 + 2 = 1 + 4 + 2 = 7$. Число 7 не является квадратом натурального числа.

2. Упростим рекуррентное соотношение для $n \ge 2$.

Запишем определение для $a_{n+1}$:

$a_{n+1} = (a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_{n-1}^2) + a_n^2 + n$

По определению, для $n \ge 2$ также верно:

$a_n = a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_{n-1}^2 + (n-1)$

Из последнего равенства выразим сумму квадратов:

$a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_{n-1}^2 = a_n - (n-1)$

Подставим это выражение в формулу для $a_{n+1}$:

$a_{n+1} = (a_n - (n-1)) + a_n^2 + n = a_n - n + 1 + a_n^2 + n = a_n^2 + a_n + 1$

Таким образом, для всех $n \ge 2$ последовательность удовлетворяет более простому соотношению: $a_{n+1} = a_n^2 + a_n + 1$.

3. Докажем, что $a_k$ не является квадратом для всех $k > 1$.

Мы уже убедились, что $a_2 = 2$ не является квадратом.

Теперь рассмотрим члены $a_{n+1}$ при $n \ge 2$, то есть $a_3, a_4, \dots$. Для этих членов выполняется $a_{n+1} = a_n^2 + a_n + 1$.

Поскольку $a_2 = 2 > 0$, и из рекуррентной формулы следует, что все последующие члены также положительны, то для $n \ge 2$ член $a_n$ является натуральным числом.

Рассмотрим неравенства. С одной стороны, очевидно:

$a_n^2 < a_n^2 + a_n + 1 = a_{n+1}$ (поскольку $a_n > 0$)

С другой стороны, сравним $a_{n+1}$ с квадратом следующего за $a_n$ натурального числа, то есть с $(a_n + 1)^2$:

$(a_n + 1)^2 = a_n^2 + 2a_n + 1$

Так как $a_n \ge a_2 = 2$, то $a_n < 2a_n$. Поэтому:

$a_n^2 + a_n + 1 < a_n^2 + 2a_n + 1$

Объединив неравенства, получаем для $n \ge 2$:

$a_n^2 < a_{n+1} < (a_n + 1)^2$

Это означает, что член $a_{n+1}$ (при $n \ge 2$) строго заключен между двумя последовательными квадратами натуральных чисел. Следовательно, он сам не может быть квадратом натурального числа.

Вывод: мы показали, что $a_2$ не является квадратом, и все последующие члены $a_n$ при $n \ge 3$ также не являются квадратами. Таким образом, все члены последовательности, кроме $a_1$, не являются квадратами натуральных чисел.

Ответ: Утверждение доказано.