Номер 24.21, страница 239 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 24. Числовые последовательности - номер 24.21, страница 239.

Условие.

24.21. Последовательность задана рекуррентно: $a_1 = 4$, $a_{n+1} = 2a_n - 3$.

Докажите, что $a_n = 2^{n-1} + 3$.

Решение.

Докажем утверждение $a_n = 2^{n-1} + 3$ для последовательности, заданной условиями $a_1 = 4$ и $a_{n+1} = 2a_n - 3$, с помощью метода математической индукции.

База индукции

Проверим, выполняется ли данная формула для начального значения $n=1$.

Согласно условию, $a_1 = 4$.

Подставим $n=1$ в доказываемую формулу:

$a_1 = 2^{1-1} + 3 = 2^0 + 3 = 1 + 3 = 4$.

Поскольку $4 = 4$, формула верна для $n=1$. База индукции доказана.

Индукционный переход

Предположим, что формула верна для некоторого произвольного натурального числа $k$, то есть выполняется равенство:

$a_k = 2^{k-1} + 3$.

Это наше индукционное предположение.

Теперь докажем, что из этого предположения следует верность формулы и для следующего числа, $n=k+1$. То есть, нам нужно показать, что $a_{k+1} = 2^{(k+1)-1} + 3 = 2^k + 3$.

Для этого воспользуемся рекуррентной формулой, данной в условии задачи: $a_{k+1} = 2a_k - 3$.

Подставим в эту формулу выражение для $a_k$ из нашего индукционного предположения:

$a_{k+1} = 2(2^{k-1} + 3) - 3$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$a_{k+1} = 2 \cdot 2^{k-1} + 2 \cdot 3 - 3$

$a_{k+1} = 2^{1 + (k-1)} + 6 - 3$

$a_{k+1} = 2^k + 3$.

Мы получили в точности то выражение, которое требовалось доказать для $a_{k+1}$. Следовательно, индукционный переход доказан.

Поскольку база индукции верна и индукционный переход доказан, по принципу математической индукции формула $a_n = 2^{n-1} + 3$ верна для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Утверждение доказано.