Номер 24.20, страница 239 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 24. Числовые последовательности - номер 24.20, страница 239.

Условие.

24.20. Последовательность задана рекуррентно: $a_1 = 7$, $a_2 = 29$, $a_{n+2} = 7a_{n+1} - 10a_n$. Докажите, что $a_n = 2^n + 5^n$.

Решение.

Для доказательства того, что формула $a_n = 2^n + 5^n$ является решением для последовательности, заданной рекуррентно $a_1 = 7$, $a_2 = 29$, $a_{n+2} = 7a_{n+1} - 10a_n$, воспользуемся методом математической индукции.

1. База индукции

Проверим, выполняется ли формула для первых двух членов последовательности, $n=1$ и $n=2$.

При $n=1$ по формуле получаем: $a_1 = 2^1 + 5^1 = 2 + 5 = 7$. Это соответствует заданному в условии значению $a_1 = 7$.

При $n=2$ по формуле получаем: $a_2 = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29$. Это соответствует заданному в условии значению $a_2 = 29$.

База индукции верна.

2. Индукционное предположение

Предположим, что формула верна для всех натуральных чисел до $k+1$ включительно, где $k \geq 1$. То есть, мы считаем верными равенства:

$a_k = 2^k + 5^k$

$a_{k+1} = 2^{k+1} + 5^{k+1}$

3. Индукционный шаг

Докажем, что формула верна и для $n=k+2$. Используя рекуррентное соотношение и индукционное предположение, выразим $a_{k+2}$:

$a_{k+2} = 7a_{k+1} - 10a_k = 7(2^{k+1} + 5^{k+1}) - 10(2^k + 5^k)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$a_{k+2} = 7 \cdot 2^{k+1} + 7 \cdot 5^{k+1} - 10 \cdot 2^k - 10 \cdot 5^k$

$a_{k+2} = (7 \cdot 2^{k+1} - 10 \cdot 2^k) + (7 \cdot 5^{k+1} - 10 \cdot 5^k)$

Преобразуем выражения в скобках:

$7 \cdot 2^{k+1} - 10 \cdot 2^k = 7 \cdot 2 \cdot 2^k - 10 \cdot 2^k = 14 \cdot 2^k - 10 \cdot 2^k = (14-10) \cdot 2^k = 4 \cdot 2^k = 2^2 \cdot 2^k = 2^{k+2}$

$7 \cdot 5^{k+1} - 10 \cdot 5^k = 7 \cdot 5 \cdot 5^k - 10 \cdot 5^k = 35 \cdot 5^k - 10 \cdot 5^k = (35-10) \cdot 5^k = 25 \cdot 5^k = 5^2 \cdot 5^k = 5^{k+2}$

Подставим полученные выражения обратно:

$a_{k+2} = 2^{k+2} + 5^{k+2}$

Мы получили, что формула верна и для $n=k+2$.

Таким образом, по принципу математической индукции, формула $a_n = 2^n + 5^n$ верна для всех натуральных $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.