Номер 24.13, страница 238 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 24. Числовые последовательности - номер 24.13, страница 238.

Условие.

24.13. Последовательность $ (a_n) $ задана формулой $n$-го члена. Задайте её рекуррентно:

1) $a_n = n$;

2) $a_n = \frac{1}{n+1}$;

3) $a_n = \sqrt{n}$.

Решение.

1) Чтобы задать последовательность рекуррентно, необходимо указать ее первый член и формулу, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие члены. В нашем случае будем выражать $(n+1)$-й член через $n$-й.

Дана последовательность $a_n = n$.

1. Найдем первый член последовательности $a_1$, подставив $n=1$ в формулу:

$a_1 = 1$.

2. Найдем связь между $a_{n+1}$ и $a_n$.

Запишем формулу для $(n+1)$-го члена:

$a_{n+1} = n+1$.

Мы знаем, что $a_n = n$. Мы можем переписать формулу для $a_{n+1}$ как $a_{n+1} = (n) + 1$.

Подставив $a_n$ вместо $n$, получаем рекуррентное соотношение:

$a_{n+1} = a_n + 1$.

Таким образом, последовательность задается рекуррентно следующим образом: первый член равен 1, а каждый следующий член на 1 больше предыдущего.

Ответ: $a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + 1$ при $n \ge 1$.

2) Дана последовательность $a_n = \frac{1}{n+1}$.

1. Найдем первый член последовательности $a_1$, подставив $n=1$ в формулу:

$a_1 = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.

2. Найдем связь между $a_{n+1}$ и $a_n$.

Запишем формулу для $(n+1)$-го члена:

$a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)+1} = \frac{1}{n+2}$.

Из исходной формулы $a_n = \frac{1}{n+1}$ выразим $n+1$:

$n+1 = \frac{1}{a_n}$.

Теперь выразим $n+2$ через $a_n$:

$n+2 = (n+1) + 1 = \frac{1}{a_n} + 1 = \frac{1+a_n}{a_n}$.

Подставим это выражение в формулу для $a_{n+1}$:

$a_{n+1} = \frac{1}{n+2} = \frac{1}{\frac{1+a_n}{a_n}} = \frac{a_n}{1+a_n}$.

Таким образом, мы получили рекуррентное соотношение.

Ответ: $a_1 = \frac{1}{2}, a_{n+1} = \frac{a_n}{1+a_n}$ при $n \ge 1$.

3) Дана последовательность $a_n = \sqrt{n}$.

1. Найдем первый член последовательности $a_1$, подставив $n=1$ в формулу:

$a_1 = \sqrt{1} = 1$.

2. Найдем связь между $a_{n+1}$ и $a_n$.

Запишем формулу для $(n+1)$-го члена:

$a_{n+1} = \sqrt{n+1}$.

Из исходной формулы $a_n = \sqrt{n}$ выразим $n$, возведя обе части в квадрат:

$a_n^2 = n$.

Подставим это выражение для $n$ в формулу для $a_{n+1}$:

$a_{n+1} = \sqrt{n+1} = \sqrt{a_n^2 + 1}$.

Таким образом, мы получили рекуррентное соотношение.

Ответ: $a_1 = 1, a_{n+1} = \sqrt{a_n^2 + 1}$ при $n \ge 1$.