Номер 24.8, страница 238 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 24. Числовые последовательности - номер 24.8, страница 238.

Условие.

24.8. Последовательность $ (b_n) $ задана формулой $n$-го члена $b_n = -n^2 + 15n - 20$. Сколько членов этой последовательности больше 16?

Решение.

По условию задачи, последовательность $(b_n)$ задана формулой $n$-го члена $b_n = -n^2 + 15n - 20$. Нам нужно найти количество членов этой последовательности, которые больше 16. Для этого решим неравенство $b_n > 16$.

Подставим выражение для $b_n$ в неравенство:

$-n^2 + 15n - 20 > 16$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$-n^2 + 15n - 20 - 16 > 0$

$-n^2 + 15n - 36 > 0$

Чтобы упростить решение, умножим обе части неравенства на $-1$. При этом знак неравенства изменится на противоположный:

$n^2 - 15n + 36 < 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 - 15n + 36 = 0$. Можно использовать теорему Виета или найти дискриминант.

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 225 - 144 = 81$

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{15 - 9}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$n_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 9}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Мы решаем неравенство $n^2 - 15n + 36 < 0$. Графиком функции $y = n^2 - 15n + 36$ является парабола с ветвями, направленными вверх, которая пересекает ось абсцисс в точках $n=3$ и $n=12$. Значения функции будут отрицательными между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $3 < n < 12$.

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом. Найдем все натуральные числа, которые удовлетворяют неравенству $3 < n < 12$:

$n \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$

Подсчитаем количество этих членов: всего 8.

Ответ: 8