Номер 24.9, страница 238 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 24. Числовые последовательности - номер 24.9, страница 238.

Условие.

24.9. Подберите одну из возможных формул n-го члена последовательности, первыми членами которой являются числа:

1) 1, 4, 9, 25, ...;

2) 5, 8, 11, 14, 17, ...;

3) $0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, ...;$

4) 0, 2, 0, 2, 0, ...;

5) $0, 1, 0, \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{3}, 0, \frac{1}{4}, ...;$

6) $2, 0, \frac{2}{3}, 0, \frac{2}{5}, 0, \frac{2}{7}, 0, ...;$

Решение.

1) Анализируем последовательность 1, 4, 9, 25, ... . Первые три члена, $a_1=1$, $a_2=4$, $a_3=9$, являются квадратами натуральных чисел: $1=1^2$, $4=2^2$, $9=3^2$. Четвертый указанный член, 25, также является квадратом натурального числа: $25=5^2$. Наиболее простой и вероятной закономерностью является то, что члены последовательности — это квадраты натуральных чисел.

Предположим, что формула n-го члена: $a_n = n^2$.

Эта формула дает последовательность 1, 4, 9, 16, 25, ..., которая включает в себя все числа из условия. В рамках задачи "подобрать одну из возможных формул" это является наиболее подходящим решением.

Ответ: $a_n = n^2$.

2) Дана последовательность 5, 8, 11, 14, 17, ... . Найдем разность между соседними членами:
$a_2 - a_1 = 8 - 5 = 3$
$a_3 - a_2 = 11 - 8 = 3$
$a_4 - a_3 = 14 - 11 = 3$
Так как разность постоянна, это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 5$ и разностью $d = 3$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим наши значения: $a_n = 5 + (n-1) \cdot 3 = 5 + 3n - 3 = 3n + 2$.

Ответ: $a_n = 3n + 2$.

3) Дана последовательность 0, $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{4}{5}$, ... .

Представим первый член как дробь: $a_1 = 0 = \frac{0}{1}$. Теперь последовательность выглядит так: $\frac{0}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, ...$.

Замечаем, что числитель каждого n-го члена равен $n-1$, а знаменатель равен $n$.

Таким образом, формула n-го члена: $a_n = \frac{n-1}{n}$.

Ответ: $a_n = \frac{n-1}{n}$.

4) Дана последовательность 0, 2, 0, 2, 0, ... . Эта последовательность является чередующейся.

Члены с нечетными номерами ($a_1, a_3, ...$) равны 0.

Члены с четными номерами ($a_2, a_4, ...$) равны 2.

Для построения формулы можно использовать выражение $(-1)^n$, которое равно -1 для нечетных $n$ и 1 для четных $n$.

Попробуем найти формулу в виде $a_n = A + B(-1)^n$. Для $n=1$ имеем $a_1 = A - B = 0$. Для $n=2$ имеем $a_2 = A + B = 2$. Решая систему уравнений $\begin{cases} A - B = 0 \\ A + B = 2 \end{cases}$, находим $A=1$ и $B=1$.

Значит, формула n-го члена: $a_n = 1 + (-1)^n$.

Ответ: $a_n = 1 + (-1)^n$.

5) Дана последовательность 0, 1, 0, $\frac{1}{2}$, 0, $\frac{1}{3}$, 0, $\frac{1}{4}$, ... .

Все члены с нечетными номерами равны 0.

Рассмотрим члены с четными номерами $n=2k$, где $k=1, 2, 3, ...$:
$a_2 = 1 = \frac{1}{1}$
$a_4 = \frac{1}{2}$
$a_6 = \frac{1}{3}$
Можно заметить, что для четного номера $n=2k$ член последовательности равен $a_{2k} = \frac{1}{k}$. Выражая $k$ через $n$, получаем $k = n/2$. Тогда для четных $n$ имеем $a_n = \frac{1}{n/2} = \frac{2}{n}$.

Чтобы объединить два случая (четный и нечетный $n$) в одну формулу, можно использовать множитель, который равен 0 для нечетных $n$ и 1 для четных $n$. Такой множитель — $\frac{1+(-1)^n}{2}$.

Тогда общая формула: $a_n = \frac{2}{n} \cdot \frac{1+(-1)^n}{2} = \frac{1+(-1)^n}{n}$.

Ответ: $a_n = \frac{1+(-1)^n}{n}$.

6) Дана последовательность 2, 0, $\frac{2}{3}$, 0, $\frac{2}{5}$, 0, $\frac{2}{7}$, 0, ... .

Все члены с четными номерами равны 0.

Рассмотрим члены с нечетными номерами $n=1, 3, 5, ...$:
$a_1 = 2 = \frac{2}{1}$
$a_3 = \frac{2}{3}$
$a_5 = \frac{2}{5}$
Можно заметить, что для нечетного номера $n$ член последовательности равен $a_n = \frac{2}{n}$.

Чтобы объединить два случая в одну формулу, используем множитель, который равен 1 для нечетных $n$ и 0 для четных $n$. Такой множитель — $\frac{1-(-1)^n}{2}$.

Тогда общая формула: $a_n = \frac{2}{n} \cdot \frac{1-(-1)^n}{2} = \frac{1-(-1)^n}{n}$.

Ответ: $a_n = \frac{1-(-1)^n}{n}$.