Номер 24.11, страница 238 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 24. Числовые последовательности - номер 24.11, страница 238.

Условие.

24.11. Последовательность $(a_n)$ задана рекуррентно: $a_1 = 4$, $a_{n+1} = \left[\sqrt{a_n}\right]$.

Найдите $a_{1000}$.

Решение.

Дана последовательность $(a_n)$, которая задана рекуррентно. Первый член последовательности $a_1 = 4$, а каждый последующий член вычисляется по формуле $a_{n+1} = \lfloor \sqrt{a_n} \rfloor$. Здесь $\lfloor x \rfloor$ обозначает операцию взятия целой части числа $x$ (округление вниз до ближайшего целого).

Вычислим несколько первых членов последовательности, чтобы понять ее поведение:

$a_1 = 4$ (по условию).

$a_2 = \lfloor \sqrt{a_1} \rfloor = \lfloor \sqrt{4} \rfloor = \lfloor 2 \rfloor = 2$.

$a_3 = \lfloor \sqrt{a_2} \rfloor = \lfloor \sqrt{2} \rfloor$. Поскольку $1 < \sqrt{2} < 2$, целая часть от $\sqrt{2}$ равна 1. Таким образом, $a_3 = 1$.

$a_4 = \lfloor \sqrt{a_3} \rfloor = \lfloor \sqrt{1} \rfloor = \lfloor 1 \rfloor = 1$.

Мы видим, что как только член последовательности становится равен 1, все последующие члены также будут равны 1, так как для любого $k$ такого, что $a_k = 1$, следующий член будет $a_{k+1} = \lfloor \sqrt{a_k} \rfloor = \lfloor \sqrt{1} \rfloor = 1$.

Это означает, что для всех $n \ge 3$, член последовательности $a_n$ будет равен 1.

Так как $1000 \ge 3$, то искомый член последовательности $a_{1000}$ также равен 1.

Ответ: 1