Номер 24.10, страница 238 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 24. Числовые последовательности - номер 24.10, страница 238.

Условие.

24.10. Подберите одну из возможных формул $n$-го члена последовательности, первыми членами которой являются числа:

1) 2, 9, 28, 65, 126, ...;

2) $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{12}$, $\frac{1}{20}$, $\frac{1}{30}$, ...;

3) 1, 2, $\frac{1}{3}$, 4, $\frac{1}{5}$, 6, $\frac{1}{7}$, ...;

4) -1, 1, 3, 3, 3, ... .

Решение.

1)

Рассмотрим последовательность: $2, 9, 28, 65, 126, ...$

Обозначим $n$-й член последовательности как $a_n$. Тогда $a_1=2, a_2=9, a_3=28, a_4=65, a_5=126$.

Заметим, что члены последовательности близки к кубам натуральных чисел:

$1^3 = 1$

$2^3 = 8$

$3^3 = 27$

$4^3 = 64$

$5^3 = 125$

Сравнивая члены последовательности с кубами чисел, можно увидеть, что каждый член на 1 больше соответствующего куба:

$a_1 = 2 = 1^3 + 1$

$a_2 = 9 = 2^3 + 1$

$a_3 = 28 = 3^3 + 1$

$a_4 = 65 = 4^3 + 1$

$a_5 = 126 = 5^3 + 1$

Таким образом, можно предположить, что формула $n$-го члена последовательности имеет вид $a_n = n^3 + 1$. Проверка показывает, что эта формула верна для всех приведенных членов.

Ответ: $a_n = n^3 + 1$

2)

Рассмотрим последовательность: $\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{20}, \frac{1}{30}, ...$

Обозначим $n$-й член последовательности как $a_n$. Все члены последовательности являются дробями с числителем 1. Рассмотрим последовательность знаменателей: $2, 6, 12, 20, 30, ...$

Найдем закономерность для знаменателей. Представим каждый знаменатель в виде произведения:

Для $n=1$: $2 = 1 \cdot 2$

Для $n=2$: $6 = 2 \cdot 3$

Для $n=3$: $12 = 3 \cdot 4$

Для $n=4$: $20 = 4 \cdot 5$

Для $n=5$: $30 = 5 \cdot 6$

Можно заметить, что знаменатель $n$-го члена равен произведению $n$ и $(n+1)$. То есть, знаменатель можно выразить формулой $n(n+1)$.

Следовательно, формула для $n$-го члена исходной последовательности будет $a_n = \frac{1}{n(n+1)}$. Проверим ее:

$a_1 = \frac{1}{1(1+1)} = \frac{1}{2}$

$a_2 = \frac{1}{2(2+1)} = \frac{1}{6}$

$a_3 = \frac{1}{3(3+1)} = \frac{1}{12}$

Формула верна.

Ответ: $a_n = \frac{1}{n(n+1)}$

3)

Рассмотрим последовательность: $1, 2, \frac{1}{3}, 4, \frac{1}{5}, 6, \frac{1}{7}, ...$

Обозначим $n$-й член последовательности как $a_n$. Проанализируем члены последовательности для четных и нечетных номеров $n$ по отдельности.

Для четных $n$:

$a_2 = 2$

$a_4 = 4$

$a_6 = 6$

Закономерность для четных $n$ проста: $a_n = n$.

Для нечетных $n$:

$a_1 = 1 = \frac{1}{1}$

$a_3 = \frac{1}{3}$

$a_5 = \frac{1}{5}$

$a_7 = \frac{1}{7}$

Закономерность для нечетных $n$ также очевидна: $a_n = \frac{1}{n}$.

Теперь объединим эти два случая в одну формулу. Нам нужна степень, которая равна 1 для четных $n$ и -1 для нечетных $n$. Этому свойству удовлетворяет выражение $(-1)^n$.

Тогда формула может быть записана как $a_n = n^{(-1)^n}$.

Проверим эту формулу:

Если $n$ - четное, то $(-1)^n = 1$, и $a_n = n^1 = n$.

Если $n$ - нечетное, то $(-1)^n = -1$, и $a_n = n^{-1} = \frac{1}{n}$.

Формула работает для всех приведенных членов.

Ответ: $a_n = n^{(-1)^n}$

4)

Рассмотрим последовательность: $-1, 1, 3, 3, 3, 3, ...$

Обозначим $n$-й член последовательности как $a_n$.

$a_1 = -1$

$a_2 = 1$

$a_3 = 3$

$a_4 = 3$

И так далее, $a_n = 3$ для всех $n \ge 3$.

Рассмотрим первые три члена: $-1, 1, 3$. Они образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1=-1$ и разностью $d = 1 - (-1) = 2$. Формула $n$-го члена этой прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d = -1 + (n-1)2 = 2n - 3$.

Проверим эту формулу для первых трех членов:

$a_1 = 2(1) - 3 = -1$

$a_2 = 2(2) - 3 = 1$

$a_3 = 2(3) - 3 = 3$

Формула $2n-3$ подходит для $n=1, 2, 3$. Начиная с $n=3$, значение последовательности "замораживается" на 3.

Это можно описать с помощью функции минимума. Последовательность равна меньшему из двух чисел: $2n-3$ и $3$.

Таким образом, формула может быть $a_n = \min(2n-3, 3)$.

Проверим эту формулу:

Для $n=1: a_1 = \min(2(1)-3, 3) = \min(-1, 3) = -1$.

Для $n=2: a_2 = \min(2(2)-3, 3) = \min(1, 3) = 1$.

Для $n=3: a_3 = \min(2(3)-3, 3) = \min(3, 3) = 3$.

Для $n > 3$: выражение $2n-3$ будет больше 3, поэтому $\min(2n-3, 3) = 3$.

Формула верна.

Ответ: $a_n = \min(2n-3, 3)$