Номер 24.17, страница 238 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 24. Числовые последовательности - номер 24.17, страница 238.

Условие.

24.17. Последовательность задана рекуррентно:

$a_1 = 7, a_2 = 25, a_{n+2} = 7a_{n+1} - 12a_n$. Докажите, что все члены этой последовательности при делении на 3 дают в остатке 1.

Решение.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции. Нам нужно доказать, что для любого натурального числа $n$, член последовательности $a_n$ при делении на 3 даёт в остатке 1. Это можно записать в виде сравнения по модулю: $a_n \equiv 1 \pmod{3}$.

База индукции

Проверим утверждение для первых двух членов последовательности, заданных в условии. Так как рекуррентная формула связывает член $a_{n+2}$ с двумя предыдущими ($a_{n+1}$ и $a_n$), нам необходимо проверить два базовых случая.

При $n=1$: $a_1 = 7$. Так как $7 = 2 \cdot 3 + 1$, то остаток от деления $a_1$ на 3 равен 1. Следовательно, $a_1 \equiv 1 \pmod{3}$. Утверждение для $n=1$ верно.

При $n=2$: $a_2 = 25$. Так как $25 = 8 \cdot 3 + 1$, то остаток от деления $a_2$ на 3 равен 1. Следовательно, $a_2 \equiv 1 \pmod{3}$. Утверждение для $n=2$ верно.

Шаг индукции

Сделаем индукционное предположение: пусть утверждение верно для всех натуральных чисел до $k+1$ включительно, где $k \ge 1$. В частности, оно верно для $n=k$ и $n=k+1$:
$a_k \equiv 1 \pmod{3}$ и $a_{k+1} \equiv 1 \pmod{3}$.

Докажем, что из этого следует истинность утверждения для $n=k+2$, то есть что $a_{k+2} \equiv 1 \pmod{3}$.

По определению последовательности, $a_{k+2} = 7a_{k+1} - 12a_k$.

Рассмотрим это равенство по модулю 3. Для этого найдем остатки от деления на 3 коэффициентов 7 и 12:
$7 = 2 \cdot 3 + 1 \implies 7 \equiv 1 \pmod{3}$
$12 = 4 \cdot 3 + 0 \implies 12 \equiv 0 \pmod{3}$

Теперь мы можем записать сравнение для $a_{k+2}$, подставив найденные значения и используя свойства сравнений:
$a_{k+2} \equiv (1 \cdot a_{k+1}) - (0 \cdot a_k) \pmod{3}$

Упрощая, получаем:
$a_{k+2} \equiv a_{k+1} \pmod{3}$

Согласно нашему индукционному предположению, мы знаем, что $a_{k+1} \equiv 1 \pmod{3}$. Следовательно, мы можем заключить, что:
$a_{k+2} \equiv 1 \pmod{3}$

Таким образом, шаг индукции доказан.

Заключение

Так как база индукции верна (для $n=1$ и $n=2$) и шаг индукции доказан (из истинности утверждения для $k$ и $k+1$ следует его истинность для $k+2$), по принципу математической индукции утверждение о том, что все члены последовательности при делении на 3 дают в остатке 1, верно для всех натуральных $n$.

Ответ: Утверждение доказано.