Номер 24.22, страница 239 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 24. Числовые последовательности - номер 24.22, страница 239.

Условие.

24.22. Найдите формулу $n$-го члена последовательности, заданной рекуррентно:

1) $a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 1;$

2) $a_1 = \frac{1}{2}, a_{n+1} = \frac{1}{2-a_n};$

3) $a_1 = 0, a_{n+1} = a_n + 2\sqrt{a_n+1} + 1.$

Решение.

1)

Дана последовательность $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + 1$.

Вычислим первые несколько членов последовательности, чтобы найти закономерность:

$a_1 = 1$

$a_2 = 2a_1 + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$

$a_3 = 2a_2 + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7$

$a_4 = 2a_3 + 1 = 2 \cdot 7 + 1 = 15$

Получаем последовательность 1, 3, 7, 15, ... . Можно заметить, что эти числа имеют вид $2^n - 1$:

$a_1 = 2^1 - 1 = 1$

$a_2 = 2^2 - 1 = 3$

$a_3 = 2^3 - 1 = 7$

$a_4 = 2^4 - 1 = 15$

Предположим, что формула $n$-го члена имеет вид $a_n = 2^n - 1$. Докажем это.

Для решения рекуррентного соотношения преобразуем его. Прибавим 1 к обеим частям уравнения:

$a_{n+1} + 1 = (2a_n + 1) + 1$

$a_{n+1} + 1 = 2a_n + 2$

$a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$

Введем новую последовательность $b_n = a_n + 1$. Тогда $b_{n+1} = a_{n+1} + 1$.

Рекуррентное соотношение для $b_n$ примет вид: $b_{n+1} = 2b_n$.

Это формула геометрической прогрессии со знаменателем $q=2$.

Найдем первый член последовательности $b_n$: $b_1 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2$.

Формула $n$-го члена для геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставляем наши значения: $b_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$.

Теперь вернемся к исходной последовательности $a_n$:

$b_n = a_n + 1 \implies a_n = b_n - 1 = 2^n - 1$.

Итак, формула $n$-го члена последовательности: $a_n = 2^n - 1$.

Ответ: $a_n = 2^n - 1$.

2)

Дана последовательность $a_1 = \frac{1}{2}$, $a_{n+1} = \frac{1}{2 - a_n}$.

Вычислим первые несколько членов последовательности:

$a_1 = \frac{1}{2}$

$a_2 = \frac{1}{2 - a_1} = \frac{1}{2 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$

$a_3 = \frac{1}{2 - a_2} = \frac{1}{2 - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$

$a_4 = \frac{1}{2 - a_3} = \frac{1}{2 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$

Можно предположить, что формула $n$-го члена имеет вид $a_n = \frac{n}{n+1}$. Докажем это.

Рассмотрим обратные величины $b_n = \frac{1}{a_n}$. Тогда $b_1 = \frac{1}{1/2} = 2$. Но это не приводит к простому соотношению.

Попробуем другую подстановку. Пусть $a_n = 1 - \frac{1}{b_n}$.

Подставим это в рекуррентное соотношение:

$1 - \frac{1}{b_{n+1}} = \frac{1}{2 - (1 - \frac{1}{b_n})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{b_n}} = \frac{1}{\frac{b_n+1}{b_n}} = \frac{b_n}{b_n+1}$.

Отсюда выразим $\frac{1}{b_{n+1}}$:

$\frac{1}{b_{n+1}} = 1 - \frac{b_n}{b_n+1} = \frac{b_n+1 - b_n}{b_n+1} = \frac{1}{b_n+1}$.

Следовательно, $b_{n+1} = b_n + 1$.

Это формула арифметической прогрессии с разностью $d=1$.

Найдем первый член $b_1$. Из $a_1 = 1 - \frac{1}{b_1}$ получаем $\frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{b_1}$, откуда $\frac{1}{b_1} = \frac{1}{2}$, то есть $b_1 = 2$.

Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $b_n = b_1 + (n-1)d$.

Подставляем наши значения: $b_n = 2 + (n-1) \cdot 1 = n+1$.

Теперь найдем $a_n$:

$a_n = 1 - \frac{1}{b_n} = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.

Итак, формула $n$-го члена последовательности: $a_n = \frac{n}{n+1}$.

Ответ: $a_n = \frac{n}{n+1}$.

3)

Дана последовательность $a_1 = 0$, $a_{n+1} = a_n + 2\sqrt{a_n} + 1$.

Заметим, что правая часть рекуррентного соотношения является полным квадратом:

$a_{n+1} = (\sqrt{a_n})^2 + 2\sqrt{a_n} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a_n} + 1)^2$.

Вычислим первые несколько членов последовательности:

$a_1 = 0$

$a_2 = (\sqrt{a_1} + 1)^2 = (\sqrt{0} + 1)^2 = 1^2 = 1$

$a_3 = (\sqrt{a_2} + 1)^2 = (\sqrt{1} + 1)^2 = 2^2 = 4$

$a_4 = (\sqrt{a_3} + 1)^2 = (\sqrt{4} + 1)^2 = (2+1)^2 = 3^2 = 9$

Последовательность 0, 1, 4, 9, ... представляет собой квадраты чисел 0, 1, 2, 3, ... .

Можно предположить, что $a_n = (n-1)^2$. Докажем это.

Введем новую последовательность $b_n = \sqrt{a_n}$. Поскольку $a_1=0$ и $a_{n+1}$ - полный квадрат, все члены $a_n$ неотрицательны, и $b_n$ определена.

Из $a_{n+1} = (\sqrt{a_n} + 1)^2$, извлекая квадратный корень из обеих частей (с учетом неотрицательности), получаем:

$\sqrt{a_{n+1}} = \sqrt{a_n} + 1$.

Подставляя $b_n$, получаем соотношение: $b_{n+1} = b_n + 1$.

Это формула арифметической прогрессии с разностью $d=1$.

Найдем первый член $b_1$: $b_1 = \sqrt{a_1} = \sqrt{0} = 0$.

Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $b_n = b_1 + (n-1)d$.

Подставляя наши значения: $b_n = 0 + (n-1) \cdot 1 = n-1$.

Теперь вернемся к исходной последовательности $a_n$:

$b_n = \sqrt{a_n} \implies a_n = b_n^2 = (n-1)^2$.

Итак, формула $n$-го члена последовательности: $a_n = (n-1)^2$.

Ответ: $a_n = (n-1)^2$.