Номер 24.23, страница 239 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 24. Числовые последовательности - номер 24.23, страница 239.

Условие.

24.23. Последовательность задана рекуррентно: $a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + 8n$. Докажите, что любой член этой последовательности является квадратом натурального числа.

Решение.

Для доказательства того, что любой член последовательности, заданной рекуррентно $a_1 = 1$ и $a_{n+1} = a_n + 8n$, является квадратом натурального числа, найдем явную формулу для $n$-го члена последовательности и докажем её справедливость.

Вычислим несколько первых членов последовательности:

• $a_1 = 1 = 1^2$
• $a_2 = a_1 + 8 \cdot 1 = 1 + 8 = 9 = 3^2$
• $a_3 = a_2 + 8 \cdot 2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$
• $a_4 = a_3 + 8 \cdot 3 = 25 + 24 = 49 = 7^2$

Можно заметить, что члены последовательности являются квадратами последовательных нечётных чисел. Формула для $n$-го нечётного числа — $2n-1$. Выдвинем гипотезу, что формула для $n$-го члена последовательности имеет вид $a_n = (2n-1)^2$.

Докажем эту гипотезу методом математической индукции.

База индукции

Проверим утверждение для $n=1$. По условию $a_1 = 1$. По нашей гипотезе $a_1 = (2 \cdot 1 - 1)^2 = 1^2 = 1$. Утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции

Предположим, что гипотеза верна для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть $a_k = (2k-1)^2$.

Докажем, что в этом случае гипотеза верна и для $k+1$, то есть что $a_{k+1} = (2(k+1)-1)^2 = (2k+1)^2$.

Согласно рекуррентному определению последовательности:

$a_{k+1} = a_k + 8k$

Используя индукционное предположение ($a_k = (2k-1)^2$), получаем:

$a_{k+1} = (2k-1)^2 + 8k$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$a_{k+1} = (4k^2 - 4k + 1) + 8k = 4k^2 + 4k + 1$

Полученное выражение является полным квадратом суммы:

$4k^2 + 4k + 1 = (2k)^2 + 2 \cdot (2k) \cdot 1 + 1^2 = (2k+1)^2$

Таким образом, мы показали, что $a_{k+1} = (2k+1)^2$, что и требовалось доказать.

По принципу математической индукции, формула $a_n = (2n-1)^2$ верна для всех натуральных чисел $n$.

Поскольку $n$ — натуральное число, $2n-1$ также является натуральным числом. Следовательно, каждый член данной последовательности является квадратом натурального числа.

Ответ: Доказано, что любой член последовательности является квадратом натурального числа, а именно $a_n = (2n-1)^2$.