Номер 24.16, страница 238 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 24. Числовые последовательности - номер 24.16, страница 238.

Условие.

24.16. Найдите сто первый член последовательности $ (a_n) $, если $ a_1 = 0, $ $ a_2 = 1, $ $ a_{n+2} = a_{n+1} - a_n. $

Решение.

Последовательность ($a_n$) задана начальными условиями $a_1 = 0$, $a_2 = 1$ и рекуррентной формулой $a_{n+2} = a_{n+1} - a_n$.

Чтобы найти сто первый член, вычислим первые несколько членов последовательности для выявления закономерности:

$a_1 = 0$
$a_2 = 1$
$a_3 = a_2 - a_1 = 1 - 0 = 1$
$a_4 = a_3 - a_2 = 1 - 1 = 0$
$a_5 = a_4 - a_3 = 0 - 1 = -1$
$a_6 = a_5 - a_4 = -1 - 0 = -1$
$a_7 = a_6 - a_5 = -1 - (-1) = 0$
$a_8 = a_7 - a_6 = 0 - (-1) = 1$

Запишем члены последовательности в ряд: $0, 1, 1, 0, -1, -1, 0, 1, \ldots$

Можно заметить, что пара членов $(a_7, a_8) = (0, 1)$ совпала с начальной парой $(a_1, a_2) = (0, 1)$. Так как каждый следующий член последовательности однозначно определяется двумя предыдущими, то последовательность является периодической.

Повторяющийся блок (период) состоит из шести членов: $(0, 1, 1, 0, -1, -1)$. Длина периода равна 6.

Для нахождения $a_{101}$ нам нужно найти остаток от деления номера 101 на длину периода 6.

$101 = 6 \cdot 16 + 5$

Остаток равен 5. Это означает, что сто первый член последовательности будет таким же, как и пятый член последовательности.

$a_{101} = a_5$

Как мы вычислили ранее, $a_5 = -1$.

Следовательно, $a_{101} = -1$.

Ответ: -1