Номер 24.15, страница 238 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 24. Числовые последовательности - номер 24.15, страница 238.

Условие.

24.15. Найдите сто первый член последовательности $ (a_n) $, если $ a_1 = 1 $, $ a_2 = 2 $, $ a_{n+2} = \frac{a_{n+1}}{a_n} $.

Решение.

Для нахождения сто первого члена последовательности $(a_n)$, заданной условиями $a_1 = 1$, $a_2 = 2$ и рекуррентной формулой $a_{n+2} = \frac{a_{n+1}}{a_n}$, вычислим несколько первых её членов, чтобы обнаружить закономерность.
$a_1 = 1$
$a_2 = 2$
$a_3 = \frac{a_2}{a_1} = \frac{2}{1} = 2$
$a_4 = \frac{a_3}{a_2} = \frac{2}{2} = 1$
$a_5 = \frac{a_4}{a_3} = \frac{1}{2}$
$a_6 = \frac{a_5}{a_4} = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$
$a_7 = \frac{a_6}{a_5} = \frac{1/2}{1/2} = 1$
$a_8 = \frac{a_7}{a_6} = \frac{1}{1/2} = 2$
Таким образом, последовательность членов выглядит так: $1, 2, 2, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1, 2, \dots$
Мы видим, что $a_7 = a_1$ и $a_8 = a_2$. Поскольку каждый член последовательности определяется двумя предыдущими, последовательность является периодической. Период равен 6, а повторяющаяся группа членов: $(1, 2, 2, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
Чтобы найти $a_{101}$, необходимо найти остаток от деления номера искомого члена на длину периода:
$101 \div 6 = 16$ с остатком $5$.
Это означает, что $a_{101}$ будет равен пятому члену последовательности, то есть $a_5$.
$a_{101} = a_5 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.