Номер 24.12, страница 238 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 24. Числовые последовательности - номер 24.12, страница 238.

Условие.

24.12. Последовательность $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена. Задайте её рекуррентно:

1) $a_n = 2n - 3$;

2) $a_n = \frac{n}{n+2}$;

3) $a_n = n^2$.

Решение.

Чтобы задать последовательность рекуррентно, нужно указать ее первый член (или несколько первых членов) и формулу, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие. Такой способ задания называется рекуррентным.

1) Дана последовательность, заданная формулой n-го члена: $a_n = 2n - 3$.

Сначала найдем первый член последовательности, подставив $n=1$ в формулу:

$a_1 = 2 \cdot 1 - 3 = 2 - 3 = -1$.

Теперь найдем формулу для $(n+1)$-го члена последовательности:

$a_{n+1} = 2(n+1) - 3 = 2n + 2 - 3 = 2n - 1$.

Чтобы найти рекуррентную формулу, выразим $a_{n+1}$ через $a_n$. Рассмотрим разность между соседними членами:

$a_{n+1} - a_n = (2n - 1) - (2n - 3) = 2n - 1 - 2n + 3 = 2$.

Это означает, что каждый следующий член последовательности на 2 больше предыдущего. Это арифметическая прогрессия с разностью $d=2$.

Таким образом, рекуррентная формула имеет вид $a_{n+1} = a_n + 2$.

Объединив первый член и рекуррентную формулу, получаем полное рекуррентное задание последовательности.

Ответ: $a_1 = -1$, $a_{n+1} = a_n + 2$.

2) Дана последовательность: $a_n = \frac{n}{n+2}$.

Найдем первый член последовательности при $n=1$:

$a_1 = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$.

Теперь найдем способ выразить $a_{n+1}$ через $a_n$. Сначала запишем формулу для $a_{n+1}$:

$a_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)+2} = \frac{n+1}{n+3}$.

Из исходной формулы $a_n = \frac{n}{n+2}$ выразим $n$ через $a_n$:

$a_n(n+2) = n$

$a_n \cdot n + 2a_n = n$

$2a_n = n - n \cdot a_n$

$2a_n = n(1 - a_n)$

$n = \frac{2a_n}{1 - a_n}$.

Теперь подставим это выражение для $n$ в формулу для $a_{n+1}$:

$a_{n+1} = \frac{n+1}{n+3} = \frac{\frac{2a_n}{1 - a_n} + 1}{\frac{2a_n}{1 - a_n} + 3}$.

Упростим полученное выражение, умножив числитель и знаменатель дроби на $(1 - a_n)$:

$a_{n+1} = \frac{2a_n + 1(1 - a_n)}{2a_n + 3(1 - a_n)} = \frac{2a_n + 1 - a_n}{2a_n + 3 - 3a_n} = \frac{a_n + 1}{3 - a_n}$.

Получили рекуррентную формулу. Запишем полное рекуррентное задание.

Ответ: $a_1 = \frac{1}{3}$, $a_{n+1} = \frac{a_n + 1}{3 - a_n}$.

3) Дана последовательность: $a_n = n^2$.

Найдем первый член последовательности при $n=1$:

$a_1 = 1^2 = 1$.

Запишем формулу для $(n+1)$-го члена:

$a_{n+1} = (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$.

Мы знаем, что $a_n = n^2$. Подставим это в выражение для $a_{n+1}$:

$a_{n+1} = a_n + 2n + 1$.

Чтобы получить формулу, зависящую только от $a_n$, выразим $n$ из $a_n = n^2$. Поскольку $n$ — натуральное число, $n = \sqrt{a_n}$.

Подставим $n = \sqrt{a_n}$ в полученное соотношение:

$a_{n+1} = a_n + 2\sqrt{a_n} + 1$.

Правая часть этого равенства представляет собой полный квадрат суммы:

$a_n + 2\sqrt{a_n} + 1 = (\sqrt{a_n})^2 + 2 \cdot \sqrt{a_n} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a_n} + 1)^2$.

Таким образом, рекуррентная формула имеет вид $a_{n+1} = (\sqrt{a_n} + 1)^2$.

Запишем полное рекуррентное задание.

Ответ: $a_1 = 1$, $a_{n+1} = (\sqrt{a_n} + 1)^2$.