Номер 24.25, страница 239 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 24. Числовые последовательности - номер 24.25, страница 239.

Условие.

24.25. Для последовательности $(x_n)$ справедлива такая рекуррентная формула: $x_{n+1} = x_n^2 - 2x_n + 2$. Найдите все значения $x_1$, при которых выполняется равенство $x_1 = x_{1000}$.

Решение.

Дана последовательность ($x_n$), определенная рекуррентной формулой $x_{n+1} = x_n^2 - 2x_n + 2$. Требуется найти все значения $x_1$, для которых выполняется равенство $x_1 = x_{1000}$.

Преобразуем рекуррентную формулу, выделив полный квадрат:$x_{n+1} = (x_n^2 - 2x_n + 1) + 1 = (x_n - 1)^2 + 1$.

Это преобразование подсказывает сделать замену переменной. Пусть $y_n = x_n - 1$. Тогда $x_n = y_n + 1$. Подставим это в преобразованную формулу:$y_{n+1} + 1 = ((y_n + 1) - 1)^2 + 1$$y_{n+1} + 1 = y_n^2 + 1$$y_{n+1} = y_n^2$.

Получили более простую рекуррентную формулу для последовательности ($y_n$). Найдем явную формулу для $n$-го члена этой последовательности.$y_2 = y_1^2$$y_3 = y_2^2 = (y_1^2)^2 = y_1^4 = y_1^{2^2}$$y_4 = y_3^2 = (y_1^4)^2 = y_1^8 = y_1^{2^3}$Методом математической индукции легко доказать, что общая формула имеет вид:$y_n = y_1^{2^{n-1}}$.

Теперь вернемся к исходному условию $x_1 = x_{1000}$. Выразим его через члены последовательности ($y_n$):$y_1 + 1 = y_{1000} + 1$$y_1 = y_{1000}$.

Используем найденную общую формулу для $y_{1000}$:$y_{1000} = y_1^{2^{1000-1}} = y_1^{2^{999}}$. Подставим это в условие $y_1 = y_{1000}$:$y_1 = y_1^{2^{999}}$.

Решим это уравнение относительно $y_1$:$y_1^{2^{999}} - y_1 = 0$$y_1(y_1^{2^{999}-1} - 1) = 0$.

Это уравнение распадается на два случая:1) $y_1 = 0$.2) $y_1^{2^{999}-1} - 1 = 0$, или $y_1^{2^{999}-1} = 1$. Поскольку показатель степени $2^{999}-1$ является нечетным числом, то в действительных числах это уравнение имеет единственный корень $y_1 = 1$.

Таким образом, мы получили два возможных значения для $y_1$: 0 и 1. Найдем соответствующие значения $x_1$, используя замену $x_1 = y_1 + 1$:1) Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 0 + 1 = 1$.2) Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 1 = 2$.

Проверим найденные значения.Если $x_1 = 1$, то $x_2 = 1^2 - 2 \cdot 1 + 2 = 1$. Все последующие члены последовательности также будут равны 1, следовательно $x_{1000} = 1$. Равенство $x_1 = x_{1000}$ выполняется.Если $x_1 = 2$, то $x_2 = 2^2 - 2 \cdot 2 + 2 = 4 - 4 + 2 = 2$. Все последующие члены последовательности также будут равны 2, следовательно $x_{1000} = 2$. Равенство $x_1 = x_{1000}$ выполняется.

Следовательно, оба значения являются решениями задачи.

Ответ: 1; 2.