Номер 23.29, страница 229 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.29, страница 229.

Условие.

23.29. Упростите выражение:

1) $\frac{a^{7/3} - 2a^{5/3}b^{2/3} + ab^{4/3}}{a^{5/3} - a^{4/3}b^{1/3} - ab^{2/3} + a^{2/3}b} : a^{1/3}$

2) $\frac{(x^{2/3} + 2\sqrt[3]{xy} + 4y^{2/3})}{(\sqrt[3]{x^4} - 8y\sqrt[3]{x}) : \sqrt[3]{xy}} \cdot (2 - 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}})$

Решение.

1)

Преобразуем исходное выражение: $ \frac{a^{\frac{7}{3}} - 2a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{2}{3}} + ab^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}} - ab^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b} : a^{\frac{1}{3}} $

Сначала упростим числитель дроби, вынеся за скобки общий множитель $a$:

$ a^{\frac{7}{3}} - 2a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{2}{3}} + ab^{\frac{4}{3}} = a(a^{\frac{4}{3}} - 2a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{4}{3}}) $

Выражение в скобках является полным квадратом разности $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $, где $ x = a^{\frac{2}{3}} $ и $ y = b^{\frac{2}{3}} $:

$ a((a^{\frac{2}{3}})^2 - 2 \cdot a^{\frac{2}{3}} \cdot b^{\frac{2}{3}} + (b^{\frac{2}{3}})^2) = a(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})^2 $

Теперь упростим знаменатель дроби, сгруппировав слагаемые:

$ a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}} - ab^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b = (a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}}) - (ab^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{2}{3}}b) $

Вынесем общие множители из каждой группы:

$ a^{\frac{4}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) - a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) $

Вынесем общий множитель $ (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) $:

$ (a^{\frac{4}{3}} - a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}})(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) $

Из первой скобки вынесем $ a^{\frac{2}{3}} $:

$ a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) $

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:

$ \frac{a(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})^2}{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})} $

Сократим дробь на $ (a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}) $ и $ a^{\frac{2}{3}} $:

$ \frac{a^{1-\frac{2}{3}}(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} $

Применим формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $ к выражению $ a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}} $:

$ \frac{a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} $

Сократим на $ (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) $, получим:

$ a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) $

Наконец, выполним деление на $ a^{\frac{1}{3}} $:

$ \frac{a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{1}{3}}} = a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} $

Ответ: $ a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} $.

2)

Запишем выражение, используя степени вместо корней, где это удобно:

$ \frac{(x^{\frac{2}{3}} + 2\sqrt[3]{xy} + 4y^{\frac{2}{3}})^2}{(\sqrt[3]{x^4} - 8y\sqrt[3]{x}): \sqrt[3]{xy}} \cdot (2 - \sqrt[3]{\frac{x}{y}}) = \frac{(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}})^2}{(x^{\frac{4}{3}} - 8yx^{\frac{1}{3}}) : (xy)^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}) $

Упростим выражение в знаменателе основной дроби:

$ (x^{\frac{4}{3}} - 8yx^{\frac{1}{3}}) : (xy)^{\frac{1}{3}} = \frac{x^{\frac{4}{3}} - 8yx^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}} = \frac{x^{\frac{1}{3}}(x - 8y)}{x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}} = \frac{x - 8y}{y^{\frac{1}{3}}} $

Разложим числитель $ x - 8y $ по формуле разности кубов $ A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2) $, где $ A = x^{\frac{1}{3}} $ и $ B = 2y^{\frac{1}{3}} $:

$ x - 8y = (x^{\frac{1}{3}})^3 - (2y^{\frac{1}{3}})^3 = (x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}}) $

Тогда знаменатель основной дроби равен:

$ \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}})}{y^{\frac{1}{3}}} $

Теперь подставим это в основную дробь:

$ \frac{(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}})^2}{\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}})}{y^{\frac{1}{3}}}} $

Упростим дробь и сократим на $ (x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}}) $:

$ \frac{y^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}})^2}{(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}})} = \frac{y^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}})}{x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}}} $

Преобразуем второй множитель исходного выражения:

$ 2 - \sqrt[3]{\frac{x}{y}} = 2 - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{2y^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = -\frac{x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} $

Теперь перемножим полученные выражения:

$ \left(\frac{y^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}})}{x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}}}\right) \cdot \left(-\frac{x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}\right) $

Сокращаем общие множители $ (x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}}) $ и $ y^{\frac{1}{3}} $:

$ -(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}}) = -(x^{\frac{2}{3}} + 2\sqrt[3]{xy} + 4y^{\frac{2}{3}}) $

Ответ: $ -(x^{\frac{2}{3}} + 2\sqrt[3]{xy} + 4y^{\frac{2}{3}}) $.