Номер 23.27, страница 229 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.27, страница 229.

Условие.

23.27. Докажите тождество:

1) $ \left(\frac{a^{0.5} + 2}{a + 2a^{0.5} + 1} - \frac{a^{0.5} - 2}{a - 1}\right) : \frac{a^{0.5}}{a^{0.5} + 1} = \frac{2}{a - 1}; $

2) $ \frac{(a - b)^2}{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}} + \frac{a^2 - b^2}{\left(\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} + b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b\right)} = 2a^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{2}}. $

Решение.

1)

Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Сначала выполним вычитание в скобках.

Знаменатель первой дроби: $a + 2a^{0,5} + 1 = (a^{0,5})^2 + 2a^{0,5} \cdot 1 + 1^2 = (a^{0,5} + 1)^2$.

Знаменатель второй дроби: $a - 1 = (a^{0,5})^2 - 1^2 = (a^{0,5} - 1)(a^{0,5} + 1)$.

Теперь выражение в скобках можно переписать так:

$\frac{a^{0,5} + 2}{(a^{0,5} + 1)^2} - \frac{a^{0,5} - 2}{(a^{0,5} - 1)(a^{0,5} + 1)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a^{0,5} + 1)^2(a^{0,5} - 1)$:

$\frac{(a^{0,5} + 2)(a^{0,5} - 1) - (a^{0,5} - 2)(a^{0,5} + 1)}{(a^{0,5} + 1)^2(a^{0,5} - 1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(a^{0,5} \cdot a^{0,5} - a^{0,5} + 2a^{0,5} - 2) - (a^{0,5} \cdot a^{0,5} + a^{0,5} - 2a^{0,5} - 2) = (a + a^{0,5} - 2) - (a - a^{0,5} - 2)$

$a + a^{0,5} - 2 - a + a^{0,5} + 2 = 2a^{0,5}$

Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{2a^{0,5}}{(a^{0,5} + 1)^2(a^{0,5} - 1)}$

Теперь выполним деление:

$(\frac{2a^{0,5}}{(a^{0,5} + 1)^2(a^{0,5} - 1)}) : \frac{a^{0,5}}{a^{0,5} + 1} = \frac{2a^{0,5}}{(a^{0,5} + 1)^2(a^{0,5} - 1)} \cdot \frac{a^{0,5} + 1}{a^{0,5}}$

Сократим общие множители $a^{0,5}$ и $(a^{0,5} + 1)$:

$\frac{2}{(a^{0,5} + 1)(a^{0,5} - 1)} = \frac{2}{(a^{0,5})^2 - 1^2} = \frac{2}{a - 1}$

Мы получили выражение, стоящее в правой части тождества. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2)

Преобразуем левую часть тождества, упрощая каждое слагаемое по отдельности.

Рассмотрим первое слагаемое: $\frac{(a-b)^2}{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}$.

Используем формулы разности квадратов $a-b = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$ и разности кубов $a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^3 - (b^{\frac{1}{2}})^3 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)$.

$\frac{((a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}))^2}{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2}{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}$

Рассмотрим второе слагаемое: $\frac{a^2 - b^2}{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}$.

Разложим числитель: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a+b)$.

$\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a+b)}{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a+b)}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}$

Теперь сложим полученные выражения. У них общий знаменатель.

$\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2 + (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a+b)}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}$

Вынесем общий множитель $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$ в числителе:

$\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})[(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2 + (a+b)]}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2 + (a+b) = (a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) + (a+b) = 2a + 2b + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = 2(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)$

Подставим результат в числитель:

$\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) \cdot 2(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}$

Сократим дробь на $(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)$:

$2(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) = 2a^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{2}}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.