Номер 23.22, страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.22, страница 228.

Условие.

23.22. Найдите значение выражения:

1) $(343^{\frac{1}{2}} \cdot (\frac{1}{49})^{\frac{3}{8}})^{\frac{4}{3}}$;

2) $10^{\frac{1}{4}} \cdot 40^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}$;

3) $0.0016^{\frac{3}{4}} - 0.04^{\frac{1}{2}} + 0.216^{\frac{2}{3}}$;

4) $\frac{32^{0.24} \cdot 4^{0.7}}{64^{0.6} \cdot 16^{0.25}}$;

5) $\frac{12^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{-\frac{1}{6}}} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{8^{-\frac{1}{2}}}$;

6) $(\frac{5^{-\frac{2}{3}} \cdot 3^{-\frac{2}{3}}}{15^{-\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{16}{3}}})^{-1.5}$.

Решение.

1) $\left( 343^{\frac{1}{2}} \cdot \left( \frac{1}{49} \right)^{\frac{3}{8}} \right)^{\frac{4}{3}}$

Для решения данного выражения, представим числа 343 и 49 в виде степеней числа 7, так как $343 = 7^3$ и $49 = 7^2$. Также учтем, что $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$.

$\left( (7^3)^{\frac{1}{2}} \cdot \left( \frac{1}{7^2} \right)^{\frac{3}{8}} \right)^{\frac{4}{3}} = \left( 7^{3 \cdot \frac{1}{2}} \cdot (7^{-2})^{\frac{3}{8}} \right)^{\frac{4}{3}}$

Применим свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$:

$\left( 7^{\frac{3}{2}} \cdot 7^{-2 \cdot \frac{3}{8}} \right)^{\frac{4}{3}} = \left( 7^{\frac{3}{2}} \cdot 7^{-\frac{6}{8}} \right)^{\frac{4}{3}} = \left( 7^{\frac{3}{2}} \cdot 7^{-\frac{3}{4}} \right)^{\frac{4}{3}}$

Теперь применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для выражения в скобках:

$\left( 7^{\frac{3}{2} - \frac{3}{4}} \right)^{\frac{4}{3}} = \left( 7^{\frac{6}{4} - \frac{3}{4}} \right)^{\frac{4}{3}} = \left( 7^{\frac{3}{4}} \right)^{\frac{4}{3}}$

И снова используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$7^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 7^1 = 7$

Ответ: 7.

2) $10^{\frac{1}{4}} \cdot 40^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}$

Сгруппируем первые два множителя, используя свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$(10 \cdot 40)^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 400^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}$

Представим 400 как $20^2$:

$(20^2)^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 20^{2 \cdot \frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 20^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}$

Снова применим свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$(20 \cdot 5)^{\frac{1}{2}} = 100^{\frac{1}{2}} = \sqrt{100} = 10$

Ответ: 10.

3) $0,0016^{-\frac{3}{4}} - 0,04^{-\frac{1}{2}} + 0,216^{-\frac{2}{3}}$

Переведем десятичные дроби в обыкновенные:

$0,0016 = \frac{16}{10000} = \frac{1}{625}$; $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$; $0,216 = \frac{216}{1000} = \frac{27}{125}$.

Подставим эти значения в выражение:

$\left(\frac{1}{625}\right)^{-\frac{3}{4}} - \left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{2}} + \left(\frac{27}{125}\right)^{-\frac{2}{3}}$

Используем свойство отрицательной степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$625^{\frac{3}{4}} - 25^{\frac{1}{2}} + \left(\frac{125}{27}\right)^{\frac{2}{3}}$

Вычислим значение каждого члена:

$625^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{625})^3 = 5^3 = 125$

$25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$

$\left(\frac{125}{27}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{\frac{125}{27}}\right)^2 = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}$

Теперь найдем значение всего выражения:

$125 - 5 + \frac{25}{9} = 120 + \frac{25}{9} = 120 + 2\frac{7}{9} = 122\frac{7}{9}$

Ответ: $122\frac{7}{9}$.

4) $\frac{32^{0,24} \cdot 4^{0,7}}{64^{0,6} \cdot 16^{0,25}}$

Представим все основания степеней как степени числа 2: $32 = 2^5$, $4 = 2^2$, $64 = 2^6$, $16 = 2^4$.

$\frac{(2^5)^{0,24} \cdot (2^2)^{0,7}}{(2^6)^{0,6} \cdot (2^4)^{0,25}}$

Используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$\frac{2^{5 \cdot 0,24} \cdot 2^{2 \cdot 0,7}}{2^{6 \cdot 0,6} \cdot 2^{4 \cdot 0,25}} = \frac{2^{1,2} \cdot 2^{1,4}}{2^{3,6} \cdot 2^{1}}$

Применим свойства $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{2^{1,2 + 1,4}}{2^{3,6 + 1}} = \frac{2^{2,6}}{2^{4,6}} = 2^{2,6 - 4,6} = 2^{-2}$

Вычислим конечный результат:

$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

5) $\frac{12^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{-\frac{1}{6}}} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{8^{\frac{1}{2}}}$

Объединим дроби в одну и сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$\frac{12^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{-\frac{1}{6}} \cdot 8^{\frac{1}{2}}}$

Разложим основания 12 и 8 на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$, $8 = 2^3$.

$\frac{(2^2 \cdot 3)^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot (2^3)^{-\frac{1}{6}} \cdot (2^3)^{\frac{1}{2}}} = \frac{(2^2)^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{3 \cdot (-\frac{1}{6})} \cdot 2^{3 \cdot \frac{1}{2}}} = \frac{2^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}$

Упростим выражение, используя свойства степеней:

$\frac{2 \cdot 3^1 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 2^1} = 3 \cdot 7^{\frac{5}{3}-\frac{2}{3}} = 3 \cdot 7^{\frac{3}{3}} = 3 \cdot 7^1 = 21$

Ответ: 21.

6) $\left( \frac{5^{-\frac{2}{3}} \cdot 3^{-\frac{2}{3}}}{15^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{16}{3}}} \right)^{-1,5}$

Упростим выражение в числителе, используя свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$5^{-\frac{2}{3}} \cdot 3^{-\frac{2}{3}} = (5 \cdot 3)^{-\frac{2}{3}} = 15^{-\frac{2}{3}}$

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$\left( \frac{15^{-\frac{2}{3}}}{15^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{16}{3}}} \right)^{-1,5}$

Упростим выражение в скобках:

$\left( \frac{15^{-\frac{2}{3}}}{15^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{2^{-\frac{16}{3}}} \right)^{-1,5} = \left( 15^{-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{16}{3}} \right)^{-1,5} = \left( 15^{-\frac{4}{3}} \cdot 2^{\frac{16}{3}} \right)^{-1,5}$

Заменим десятичную дробь $-1,5$ на обыкновенную $-\frac{3}{2}$ и раскроем скобки, используя свойство $(ab)^n = a^n b^n$:

$(15^{-\frac{4}{3}})^{-\frac{3}{2}} \cdot (2^{\frac{16}{3}})^{-\frac{3}{2}} = 15^{(-\frac{4}{3}) \cdot (-\frac{3}{2})} \cdot 2^{\frac{16}{3} \cdot (-\frac{3}{2})}$

Перемножим показатели степеней:

$15^{\frac{12}{6}} \cdot 2^{-\frac{48}{6}} = 15^2 \cdot 2^{-8} = 225 \cdot \frac{1}{2^8} = 225 \cdot \frac{1}{256} = \frac{225}{256}$

Ответ: $\frac{225}{256}$.