Номер 23.16, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.16, страница 227.

Условие.

23.16. Разложите на множители, используя формулу разности кубов (переменные принимают только неотрицательные значения):

1) $a - b$;

2) $a^{1,5} - b^{1,5}$;

3) $m^{0,6} - 8n^{1,8}$;

4) $x^{\frac{6}{7}} - 6$.

Решение.

Для решения задачи используется формула разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

1) Для разложения выражения $a - b$ на множители по формуле разности кубов, представим $a$ и $b$ в виде кубов. Поскольку переменные неотрицательны, мы можем использовать дробные степени: $a = (a^{1/3})^3$ и $b = (b^{1/3})^3$.

Теперь выражение можно записать как $(a^{1/3})^3 - (b^{1/3})^3$. Применим формулу разности кубов, где $x = a^{1/3}$ и $y = b^{1/3}$:

$(a^{1/3} - b^{1/3})((a^{1/3})^2 + a^{1/3}b^{1/3} + (b^{1/3})^2) = (a^{1/3} - b^{1/3})(a^{2/3} + a^{1/3}b^{1/3} + b^{2/3})$.

Ответ: $(a^{1/3} - b^{1/3})(a^{2/3} + a^{1/3}b^{1/3} + b^{2/3})$.

2) Представим выражение $a^{1.5} - b^{1.5}$ в виде разности кубов. Для этого заметим, что $1.5 = 0.5 \cdot 3$. Следовательно, $a^{1.5} = (a^{0.5})^3$ и $b^{1.5} = (b^{0.5})^3$.

Выражение принимает вид $(a^{0.5})^3 - (b^{0.5})^3$. Используя формулу разности кубов с $x = a^{0.5}$ и $y = b^{0.5}$, получаем:

$(a^{0.5} - b^{0.5})((a^{0.5})^2 + a^{0.5}b^{0.5} + (b^{0.5})^2) = (a^{0.5} - b^{0.5})(a + a^{0.5}b^{0.5} + b)$.

Ответ: $(a^{0.5} - b^{0.5})(a + a^{0.5}b^{0.5} + b)$.

3) Рассмотрим выражение $m^{0.6} - 8n^{1.8}$. Чтобы применить формулу разности кубов, представим каждый член в виде куба. Первый член: $m^{0.6} = m^{0.2 \cdot 3} = (m^{0.2})^3$. Второй член: $8n^{1.8} = 2^3 \cdot n^{0.6 \cdot 3} = 2^3 \cdot (n^{0.6})^3 = (2n^{0.6})^3$.

Выражение можно переписать как $(m^{0.2})^3 - (2n^{0.6})^3$. Применим формулу разности кубов, где $x = m^{0.2}$ и $y = 2n^{0.6}$:

$(m^{0.2} - 2n^{0.6})((m^{0.2})^2 + m^{0.2}(2n^{0.6}) + (2n^{0.6})^2) = (m^{0.2} - 2n^{0.6})(m^{0.4} + 2m^{0.2}n^{0.6} + 4n^{1.2})$.

Ответ: $(m^{0.2} - 2n^{0.6})(m^{0.4} + 2m^{0.2}n^{0.6} + 4n^{1.2})$.

4) Для разложения выражения $x^{\frac{6}{7}} - 6$ представим его как разность кубов. Первый член: $x^{\frac{6}{7}} = x^{\frac{2}{7} \cdot 3} = (x^{\frac{2}{7}})^3$. Второй член: $6 = (6^{1/3})^3$.

Выражение принимает вид $(x^{\frac{2}{7}})^3 - (6^{1/3})^3$. Применим формулу разности кубов, где $x = x^{\frac{2}{7}}$ и $y = 6^{1/3}$:

$(x^{\frac{2}{7}} - 6^{1/3})((x^{\frac{2}{7}})^2 + x^{\frac{2}{7}} \cdot 6^{1/3} + (6^{1/3})^2) = (x^{\frac{2}{7}} - 6^{1/3})(x^{\frac{4}{7}} + 6^{1/3}x^{\frac{2}{7}} + 6^{2/3})$.

Ответ: $(x^{\frac{2}{7}} - 6^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{4}{7}} + 6^{\frac{1}{3}}x^{\frac{2}{7}} + 6^{\frac{2}{3}})$.