Номер 23.14, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.14, страница 227.

Условие.

23.14. Разложите на множители, используя формулу разности квадратов (переменные принимают только неотрицательные значения):

1) $a^5 - b^5$;

2) $x^{\frac{1}{6}} - y^{\frac{1}{6}}$;

3) $5 - c$;

4) $16x^{0,3} - 25y^{\frac{2}{9}}$.

Решение.

Для решения данной задачи мы будем использовать формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Условие о том, что переменные принимают только неотрицательные значения, позволяет нам извлекать из них корни и использовать дробные показатели степени.

1) $a^5 - b^5$

Чтобы применить формулу разности квадратов, представим каждый член выражения в виде квадрата. Для этого воспользуемся свойством степени $(x^m)^n = x^{mn}$.

Представим $a^5$ как квадрат: $a^5 = a^{2 \cdot \frac{5}{2}} = (a^{\frac{5}{2}})^2$.

Аналогично представим $b^5$ как квадрат: $b^5 = b^{2 \cdot \frac{5}{2}} = (b^{\frac{5}{2}})^2$.

Теперь исходное выражение можно записать в виде $(a^{\frac{5}{2}})^2 - (b^{\frac{5}{2}})^2$.

Применим формулу разности квадратов, где $A = a^{\frac{5}{2}}$ и $B = b^{\frac{5}{2}}$:

$(a^{\frac{5}{2}} - b^{\frac{5}{2}})(a^{\frac{5}{2}} + b^{\frac{5}{2}})$.

Ответ: $(a^{\frac{5}{2}} - b^{\frac{5}{2}})(a^{\frac{5}{2}} + b^{\frac{5}{2}})$.

2) $x^{\frac{1}{6}} - y^{\frac{1}{6}}$

Чтобы применить формулу разности квадратов, представим каждый член выражения в виде квадрата.

Представим $x^{\frac{1}{6}}$ как квадрат: $x^{\frac{1}{6}} = x^{2 \cdot \frac{1}{12}} = (x^{\frac{1}{12}})^2$.

Аналогично, $y^{\frac{1}{6}} = y^{2 \cdot \frac{1}{12}} = (y^{\frac{1}{12}})^2$.

Таким образом, выражение принимает вид $(x^{\frac{1}{12}})^2 - (y^{\frac{1}{12}})^2$.

Применяем формулу разности квадратов, где $A = x^{\frac{1}{12}}$ и $B = y^{\frac{1}{12}}$:

$(x^{\frac{1}{12}} - y^{\frac{1}{12}})(x^{\frac{1}{12}} + y^{\frac{1}{12}})$.

Ответ: $(x^{\frac{1}{12}} - y^{\frac{1}{12}})(x^{\frac{1}{12}} + y^{\frac{1}{12}})$.

3) $5 - c$

Для использования формулы разности квадратов, представим 5 и c в виде квадратов. Так как по условию переменная c неотрицательна, это можно сделать с помощью квадратных корней.

Представим 5 как квадрат: $5 = (\sqrt{5})^2$.

Представим c как квадрат: $c = (\sqrt{c})^2$.

Выражение можно переписать в виде $(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{c})^2$.

Применяя формулу разности квадратов, где $A = \sqrt{5}$ и $B = \sqrt{c}$, получаем:

$(\sqrt{5} - \sqrt{c})(\sqrt{5} + \sqrt{c})$.

Ответ: $(\sqrt{5} - \sqrt{c})(\sqrt{5} + \sqrt{c})$.

4) $16x^{0,3} - 25y^{\frac{2}{9}}$

Для разложения на множители представим каждый член выражения в виде полного квадрата.

Первый член: $16x^{0,3} = 4^2 \cdot x^{2 \cdot 0,15} = 4^2 \cdot (x^{0,15})^2 = (4x^{0,15})^2$.

Второй член: $25y^{\frac{2}{9}} = 5^2 \cdot y^{2 \cdot \frac{1}{9}} = 5^2 \cdot (y^{\frac{1}{9}})^2 = (5y^{\frac{1}{9}})^2$.

Теперь выражение имеет вид $(4x^{0,15})^2 - (5y^{\frac{1}{9}})^2$.

Применяем формулу разности квадратов, где $A = 4x^{0,15}$ и $B = 5y^{\frac{1}{9}}$:

$(4x^{0,15} - 5y^{\frac{1}{9}})(4x^{0,15} + 5y^{\frac{1}{9}})$.

Ответ: $(4x^{0,15} - 5y^{\frac{1}{9}})(4x^{0,15} + 5y^{\frac{1}{9}})$.