Номер 23.10, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.10, страница 226.

Условие.

23.10. Известно, что $b$ — положительное число. Представьте в виде куба выражение:

1) $b^2$;

2) $b^{\frac{1}{2}};$

3) $b^{\frac{1}{3}};$

4) $b^{-1.8};$

5) $b^{\frac{7}{11}}.$

Решение.

Чтобы представить выражение в виде куба, нужно найти такое выражение, которое при возведении в третью степень даст исходное. Для выражения вида $b^k$ будем искать представление в виде $(b^x)^3$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем, что $(b^x)^3 = b^{3x}$. Следовательно, нам нужно найти такое значение $x$, чтобы $b^{3x} = b^k$, то есть $3x = k$, или $x = \frac{k}{3}$.

1) Представим выражение $b^2$ в виде куба.

Ищем такое число $x$, что $(b^x)^3 = b^2$.

По свойству степени, $(b^x)^3 = b^{3x}$.

Приравниваем показатели: $3x = 2$.

Отсюда $x = \frac{2}{3}$.

Следовательно, $b^2 = (b^{\frac{2}{3}})^3$.

Ответ: $(b^{\frac{2}{3}})^3$.

2) Представим выражение $b^{\frac{1}{2}}$ в виде куба.

Ищем такое число $x$, что $(b^x)^3 = b^{\frac{1}{2}}$.

По свойству степени, $(b^x)^3 = b^{3x}$.

Приравниваем показатели: $3x = \frac{1}{2}$.

Отсюда $x = \frac{1}{2} \div 3 = \frac{1}{6}$.

Следовательно, $b^{\frac{1}{2}} = (b^{\frac{1}{6}})^3$.

Ответ: $(b^{\frac{1}{6}})^3$.

3) Представим выражение $b^{\frac{1}{3}}$ в виде куба.

Ищем такое число $x$, что $(b^x)^3 = b^{\frac{1}{3}}$.

По свойству степени, $(b^x)^3 = b^{3x}$.

Приравниваем показатели: $3x = \frac{1}{3}$.

Отсюда $x = \frac{1}{3} \div 3 = \frac{1}{9}$.

Следовательно, $b^{\frac{1}{3}} = (b^{\frac{1}{9}})^3$.

Ответ: $(b^{\frac{1}{9}})^3$.

4) Представим выражение $b^{-1.8}$ в виде куба.

Ищем такое число $x$, что $(b^x)^3 = b^{-1.8}$.

По свойству степени, $(b^x)^3 = b^{3x}$.

Приравниваем показатели: $3x = -1.8$.

Отсюда $x = \frac{-1.8}{3} = -0.6$.

Следовательно, $b^{-1.8} = (b^{-0.6})^3$.

Ответ: $(b^{-0.6})^3$.

5) Представим выражение $b^{\frac{7}{11}}$ в виде куба.

Ищем такое число $x$, что $(b^x)^3 = b^{\frac{7}{11}}$.

По свойству степени, $(b^x)^3 = b^{3x}$.

Приравниваем показатели: $3x = \frac{7}{11}$.

Отсюда $x = \frac{7}{11} \div 3 = \frac{7}{33}$.

Следовательно, $b^{\frac{7}{11}} = (b^{\frac{7}{33}})^3$.

Ответ: $(b^{\frac{7}{33}})^3$.