Номер 23.15, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.15, страница 227.

Условие.

23.15. Представьте данное выражение в виде суммы кубов и разложите его на множители (переменные принимают только неотрицательные значения):

1) $a + b;$

2) $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{3}};$

3) $a^{\frac{3}{2}} + 27;$

4) $a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}.$

Решение.

Для решения данной задачи необходимо каждое слагаемое в выражении представить в виде куба, а затем воспользоваться формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$. Условие о том, что переменные принимают только неотрицательные значения, позволяет нам извлекать корни любой степени.

1) $a + b$

Представим каждое слагаемое в виде куба:

$a = (a^{\frac{1}{3}})^3$

$b = (b^{\frac{1}{3}})^3$

Таким образом, выражение можно записать как сумму кубов: $a + b = (a^{\frac{1}{3}})^3 + (b^{\frac{1}{3}})^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = b^{\frac{1}{3}}$:

$(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})((a^{\frac{1}{3}})^2 - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2) = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$.

Ответ: $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$

2) $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{3}}$

Представим каждое слагаемое в виде куба, используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{mn}$:

$a^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{2 \cdot 3}})^3 = (a^{\frac{1}{6}})^3$

$b^{\frac{1}{3}} = (b^{\frac{1}{3 \cdot 3}})^3 = (b^{\frac{1}{9}})^3$

Таким образом, получаем сумму кубов: $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{3}} = (a^{\frac{1}{6}})^3 + (b^{\frac{1}{9}})^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $x = a^{\frac{1}{6}}$ и $y = b^{\frac{1}{9}}$:

$(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{9}})((a^{\frac{1}{6}})^2 - a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{9}} + (b^{\frac{1}{9}})^2) = (a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{9}})(a^{\frac{2}{6}} - a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{9}} + b^{\frac{2}{9}}) = (a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{9}})(a^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{9}} + b^{\frac{2}{9}})$.

Ответ: $(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{9}})(a^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{9}} + b^{\frac{2}{9}})$

3) $a^{\frac{3}{2}} + 27$

Представим каждое слагаемое в виде куба:

$a^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}})^3 = (a^{\frac{1}{2}})^3$

$27 = 3^3$

Получаем сумму кубов: $a^{\frac{3}{2}} + 27 = (a^{\frac{1}{2}})^3 + 3^3$.

Применим формулу, где $x = a^{\frac{1}{2}}$ и $y = 3$:

$(a^{\frac{1}{2}} + 3)((a^{\frac{1}{2}})^2 - a^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 3^2) = (a^{\frac{1}{2}} + 3)(a - 3a^{\frac{1}{2}} + 9)$.

Ответ: $(a^{\frac{1}{2}} + 3)(a - 3a^{\frac{1}{2}} + 9)$

4) $a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$

Представим каждое слагаемое в виде куба:

$a^{\frac{2}{3}} = (a^{\frac{2}{3 \cdot 3}})^3 = (a^{\frac{2}{9}})^3$

$b^{\frac{2}{3}} = (b^{\frac{2}{3 \cdot 3}})^3 = (b^{\frac{2}{9}})^3$

Получаем сумму кубов: $a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} = (a^{\frac{2}{9}})^3 + (b^{\frac{2}{9}})^3$.

Применим формулу, где $x = a^{\frac{2}{9}}$ и $y = b^{\frac{2}{9}}$:

$(a^{\frac{2}{9}} + b^{\frac{2}{9}})((a^{\frac{2}{9}})^2 - a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{2}{9}} + (b^{\frac{2}{9}})^2) = (a^{\frac{2}{9}} + b^{\frac{2}{9}})(a^{\frac{4}{9}} - a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{2}{9}} + b^{\frac{4}{9}})$.

Ответ: $(a^{\frac{2}{9}} + b^{\frac{2}{9}})(a^{\frac{4}{9}} - a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{2}{9}} + b^{\frac{4}{9}})$