Номер 23.19, страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.19, страница 228.

Условие.

23.19. При каких значениях $a$ выполняется равенство:

1) $ \left((a-2)^{\frac{1}{3}}\right)^3 = a-2; $

2) $ \left((a-2)^{-\frac{1}{3}}\right)^{-3} = a-2? $

Решение.

1) $((a-2)^{\frac{1}{3}})^3 = a-2$

Рассмотрим область определения выражения в левой части равенства. Выражение $(a-2)^{\frac{1}{3}}$ представляет собой кубический корень из $a-2$. Кубический корень определен для любого действительного числа, поэтому левая часть равенства определена при всех действительных значениях $a$.

Упростим левую часть, используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{mn}$:

$((a-2)^{\frac{1}{3}})^3 = (a-2)^{\frac{1}{3} \cdot 3} = (a-2)^1 = a-2$

Таким образом, исходное равенство принимает вид:

$a-2 = a-2$

Это тождество, которое верно для всех значений $a$ из области определения исходного выражения. Поскольку левая часть определена для всех действительных $a$, то и равенство выполняется при любом действительном значении $a$.

Ответ: $a \in (-\infty; +\infty)$.

2) $((a-2)^{-\frac{1}{3}})^{-3} = a-2$

Рассмотрим область определения выражения в левой части равенства. Выражение $(a-2)^{-\frac{1}{3}}$ можно записать в виде $\frac{1}{(a-2)^{\frac{1}{3}}}$.

Данное выражение определено, если основание степени $a-2$ не равно нулю (так как возводится в отрицательную степень). Таким образом, должно выполняться условие $a-2 \neq 0$, то есть $a \neq 2$.

При $a \neq 2$ упростим левую часть равенства, используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{mn}$:

$((a-2)^{-\frac{1}{3}})^{-3} = (a-2)^{(-\frac{1}{3}) \cdot (-3)} = (a-2)^1 = a-2$

Исходное равенство сводится к тождеству:

$a-2 = a-2$

Это тождество верно для всех значений $a$ из области определения исходного выражения. Как было установлено, область определения — это все действительные числа, кроме $a=2$.

Ответ: $a \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.