Номер 23.26, страница 229 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.26, страница 229.

Условие.

23.26. Упростите выражение:

1) $ \frac{m-n}{m^{\frac{1}{3}}-n^{\frac{1}{3}}}-\frac{m+n}{m^{\frac{1}{3}}+n^{\frac{1}{3}}}; $

2) $ \left(1-a^{\frac{1}{36}}\right)\left(1+a^{\frac{1}{36}}+a^{\frac{1}{18}}\right)+\frac{4-a^6}{2-a^{\frac{1}{12}}}; $

3) $ \left(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}\right):\left(\frac{b^{\frac{5}{4}}}{a}-\frac{b}{a^{\frac{3}{4}}}\right); $

4) $ \frac{m^{\frac{5}{2}}-m^{\frac{3}{2}}}{m^3-m^{\frac{5}{2}}}-\frac{m^{\frac{1}{2}}+m}{m^2+m^{\frac{3}{2}}}. $

Решение.

1) Исходное выражение: $ \frac{m-n}{m^{\frac{1}{3}} - n^{\frac{1}{3}}} - \frac{m+n}{m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}} $
Воспользуемся формулами разности кубов $ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) $ и суммы кубов $ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $.
Представим числители в виде $ m = (m^{\frac{1}{3}})^3 $ и $ n = (n^{\frac{1}{3}})^3 $.
Тогда первая дробь равна: $ \frac{(m^{\frac{1}{3}})^3 - (n^{\frac{1}{3}})^3}{m^{\frac{1}{3}} - n^{\frac{1}{3}}} = \frac{(m^{\frac{1}{3}} - n^{\frac{1}{3}})(m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}})}{m^{\frac{1}{3}} - n^{\frac{1}{3}}} = m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}} $.
Вторая дробь равна: $ \frac{(m^{\frac{1}{3}})^3 + (n^{\frac{1}{3}})^3}{m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}} = \frac{(m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}})(m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}})}{m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}} = m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}} $.
Теперь вычтем второе выражение из первого:
$ (m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}) - (m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}) = m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} - n^{\frac{2}{3}} = 2m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} = 2(mn)^{\frac{1}{3}} $.
Ответ: $2(mn)^{\frac{1}{3}}$

2) Исходное выражение: $ (1-a^{\frac{1}{36}})(1+a^{\frac{1}{36}}+a^{\frac{1}{18}}) + \frac{4-a^{\frac{1}{6}}}{2-a^{\frac{1}{12}}} $
Рассмотрим первую часть выражения: $ (1-a^{\frac{1}{36}})(1+a^{\frac{1}{36}}+a^{\frac{1}{18}}) $.
Заметим, что $ a^{\frac{1}{18}} = (a^{\frac{1}{36}})^2 $. Тогда это выражение является формулой разности кубов $ (x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3 $, где $ x=1 $ и $ y=a^{\frac{1}{36}} $.
$ (1-a^{\frac{1}{36}})(1+1 \cdot a^{\frac{1}{36}}+(a^{\frac{1}{36}})^2) = 1^3 - (a^{\frac{1}{36}})^3 = 1 - a^{\frac{3}{36}} = 1 - a^{\frac{1}{12}} $.
Рассмотрим вторую часть выражения: $ \frac{4-a^{\frac{1}{6}}}{2-a^{\frac{1}{12}}} $.
Представим числитель как разность квадратов, так как $ 4=2^2 $ и $ a^{\frac{1}{6}} = (a^{\frac{1}{12}})^2 $.
$ \frac{2^2-(a^{\frac{1}{12}})^2}{2-a^{\frac{1}{12}}} = \frac{(2-a^{\frac{1}{12}})(2+a^{\frac{1}{12}})}{2-a^{\frac{1}{12}}} = 2+a^{\frac{1}{12}} $.
Теперь сложим результаты упрощения обеих частей:
$ (1 - a^{\frac{1}{12}}) + (2 + a^{\frac{1}{12}}) = 1 - a^{\frac{1}{12}} + 2 + a^{\frac{1}{12}} = 3 $.
Ответ: $3$

3) Исходное выражение: $ (a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}) : (\frac{b^{\frac{5}{4}}}{a} - \frac{b}{a^{\frac{3}{4}}}) $
Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ a $.
$ \frac{b^{\frac{5}{4}}}{a} - \frac{b}{a^{\frac{3}{4}}} = \frac{b^{\frac{5}{4}}}{a} - \frac{b \cdot a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{3}{4}} \cdot a^{\frac{1}{4}}} = \frac{b^{\frac{5}{4}} - b \cdot a^{\frac{1}{4}}}{a} $.
Вынесем в числителе общий множитель $ b $ за скобки:
$ \frac{b(b^{\frac{1}{4}} - a^{\frac{1}{4}})}{a} = \frac{-b(a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}})}{a} $.
Теперь выполним деление:
$ (a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}) : \frac{-b(a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}})}{a} = (a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}) \cdot \frac{a}{-b(a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}})} $.
Сократим одинаковые множители $ (a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}) $:
$ \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b} $.
Ответ: $-\frac{a}{b}$

4) Исходное выражение: $ \frac{m^{\frac{5}{2}} - m^{\frac{3}{2}}}{m^3 - m^{\frac{5}{2}}} - \frac{m^{\frac{1}{2}}+m}{m^2+m^{\frac{3}{2}}} $
Упростим первую дробь. Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:
$ \frac{m^{\frac{3}{2}}(m-1)}{m^{\frac{5}{2}}(m^{\frac{1}{2}}-1)} = \frac{m-1}{m(m^{\frac{1}{2}}-1)} $.
Применим формулу разности квадратов к числителю $ m-1 = (m^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 = (m^{\frac{1}{2}}-1)(m^{\frac{1}{2}}+1) $:
$ \frac{(m^{\frac{1}{2}}-1)(m^{\frac{1}{2}}+1)}{m(m^{\frac{1}{2}}-1)} = \frac{m^{\frac{1}{2}}+1}{m} $.
Упростим вторую дробь. Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:
$ \frac{m^{\frac{1}{2}}(1+m^{\frac{1}{2}})}{m^{\frac{3}{2}}(m^{\frac{1}{2}}+1)} = \frac{m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{3}{2}}} = m^{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}} = m^{-1} = \frac{1}{m} $.
Теперь выполним вычитание упрощенных дробей:
$ \frac{m^{\frac{1}{2}}+1}{m} - \frac{1}{m} = \frac{m^{\frac{1}{2}}+1-1}{m} = \frac{m^{\frac{1}{2}}}{m} = m^{\frac{1}{2}-1} = m^{-\frac{1}{2}} $.
Ответ: $m^{-\frac{1}{2}}$