Номер 23.20, страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.20, страница 228.

Условие.

23.20. Постройте график функции:

1) $y = (x^{\frac{1}{3}})^3;$

2) $y = ((x-2)^{\frac{1}{4}})^4;$

3) $y = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{6}}.$

Решение.

1) $y = (x^{\frac{1}{3}})^3$

Сначала найдем область определения функции. Выражение $x^{\frac{1}{3}}$ (кубический корень из $x$) определено для любых действительных значений $x$. Следовательно, область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Теперь упростим данное выражение, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$y = (x^{\frac{1}{3}})^3 = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^1 = x$.

Таким образом, исходная функция тождественно равна функции $y=x$ на всей числовой оси.

Графиком функции $y=x$ является прямая, которая проходит через начало координат (0; 0) и является биссектрисой I и III координатных четвертей. Для построения прямой достаточно двух точек, например, (0; 0) и (2; 2).

Ответ: График функции $y = (x^{\frac{1}{3}})^3$ — это прямая $y=x$.

2) $y = ((x-2)^{\frac{1}{4}})^4$

Найдем область определения функции. Выражение $(x-2)^{\frac{1}{4}}$ (корень четвертой степени) определено только для неотрицательных значений подкоренного выражения. Поэтому должно выполняться условие:

$x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.

Следовательно, область определения функции $D(y) = [2; +\infty)$.

На этой области определения упростим выражение. Важно помнить, что для четного показателя корня $n$ верно равенство $(\sqrt[n]{a})^n = a$, но оно справедливо только для $a \ge 0$. В более общем виде, $((a)^{\frac{1}{n}})^n = |a|$ для четных $n$, если $a$ может быть любым. В нашем случае, поскольку мы уже определили, что $x-2 \ge 0$, упрощение будет следующим:

$y = ((x-2)^{\frac{1}{4}})^4 = x-2$.

Итак, необходимо построить график функции $y=x-2$ на промежутке $[2; +\infty)$.

Графиком является луч, выходящий из точки с абсциссой $x=2$. Найдем ординату этой точки: $y(2) = 2-2 = 0$. Начало луча находится в точке (2; 0). Для построения луча найдем еще одну точку, принадлежащую ему, например, при $x=4$: $y(4) = 4-2 = 2$. Точка (4; 2).

Ответ: График функции $y = ((x-2)^{\frac{1}{4}})^4$ — это луч прямой $y=x-2$ с началом в точке (2; 0).

3) $y = x^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{6}}$

Найдем область определения функции. Функция представляет собой произведение степеней. Выражения $x^{\frac{1}{2}}$ (квадратный корень) и $x^{\frac{1}{6}}$ (корень шестой степени) определены только для $x \ge 0$. Выражение $x^{\frac{1}{3}}$ определено для всех действительных $x$. Для того чтобы вся функция была определена, необходимо, чтобы были определены все ее множители, поэтому нужно выполнение самого строгого условия: $x \ge 0$.

Следовательно, область определения функции $D(y) = [0; +\infty)$.

Упростим выражение на его области определения, используя свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$y = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}}$

Сложим показатели степеней, приведя их к общему знаменателю 6:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Таким образом, на области определения функция принимает вид $y=x^1=x$.

Необходимо построить график функции $y=x$ при условии $x \ge 0$.

Графиком является луч, выходящий из начала координат (0; 0) и являющийся биссектрисой I координатной четверти.

Ответ: График функции $y = x^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{6}}$ — это луч прямой $y=x$ с началом в точке (0; 0), расположенный в первой координатной четверти.