Номер 23.17, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.17, страница 227.

Условие.

23.17. Сократите дробь:

1) $\frac{a - 5a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} - 5}$;

2) $\frac{a - 4b}{a^{0,5} + 2b^{0,5}};$

3) $\frac{a - b}{ab^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b};$

4) $\frac{a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}};$

5) $\frac{4c^{\frac{2}{3}} - 12c^{\frac{1}{3}}d^{\frac{1}{3}} + 9d^{\frac{2}{3}}}{2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}};$

6) $\frac{a + b}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}};$

7) $\frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}};$

8) $\frac{a^{\frac{3}{4}} + 7a^{\frac{1}{2}}}{a - 49a^{\frac{1}{2}}};$

9) $\frac{30^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}}}{10^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}}}$.

Решение.

1) $\frac{a - 5a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} - 5}$

В числителе вынесем общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$ за скобки. Напомним, что $a = (a^{\frac{1}{2}})^2$.

$a - 5a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} - 5a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 5)$

Подставим полученное выражение в числитель дроби:

$\frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 5)}{a^{\frac{1}{2}} - 5}$

Сократим дробь на общий множитель $(a^{\frac{1}{2}} - 5)$:

$a^{\frac{1}{2}}$

Ответ: $a^{\frac{1}{2}}$.

2) $\frac{a - 4b}{a^{0,5} + 2b^{0,5}}$

Представим числитель в виде разности квадратов, учитывая, что $a = (a^{0,5})^2$ и $4b = (2b^{0,5})^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

$a - 4b = (a^{0,5})^2 - (2b^{0,5})^2 = (a^{0,5} - 2b^{0,5})(a^{0,5} + 2b^{0,5})$

Подставим разложение в дробь:

$\frac{(a^{0,5} - 2b^{0,5})(a^{0,5} + 2b^{0,5})}{a^{0,5} + 2b^{0,5}}$

Сократим на общий множитель $(a^{0,5} + 2b^{0,5})$:

$a^{0,5} - 2b^{0,5}$

Ответ: $a^{0,5} - 2b^{0,5}$.

3) $\frac{a - b}{ab^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b}$

Разложим числитель как разность квадратов: $a - b = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$.

В знаменателе вынесем общий множитель $a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}$:

$ab^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b = a^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$

Подставим разложения в дробь:

$\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}$

Сократим на $(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$:

$\frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}$

Ответ: $\frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}$.

4) $\frac{a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}$

Числитель является полным квадратом суммы. Применим формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x = a^{\frac{1}{2}}$ и $y = b^{\frac{1}{2}}$:

$a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b = (a^{\frac{1}{2}})^2 + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2$

Подставим в дробь:

$\frac{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}$

Сократим дробь на $(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$:

$a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}$

Ответ: $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}$.

5) $\frac{4c^{\frac{2}{3}} - 12c^{\frac{1}{3}}d^{\frac{1}{3}} + 9d^{\frac{2}{3}}}{2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}}$

Числитель является полным квадратом разности. Применим формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = 2c^{\frac{1}{3}}$ и $y = 3d^{\frac{1}{3}}$:

$4c^{\frac{2}{3}} - 12c^{\frac{1}{3}}d^{\frac{1}{3}} + 9d^{\frac{2}{3}} = (2c^{\frac{1}{3}})^2 - 2(2c^{\frac{1}{3}})(3d^{\frac{1}{3}}) + (3d^{\frac{1}{3}})^2 = (2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}})^2$

Подставим в дробь:

$\frac{(2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}})^2}{2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}}$

Сократим дробь на $(2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}})$:

$2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}$

Ответ: $2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}$.

6) $\frac{a + b}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}$

Представим числитель как сумму кубов, используя $a = (a^{\frac{1}{3}})^3$ и $b = (b^{\frac{1}{3}})^3$.

Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$:

$a + b = (a^{\frac{1}{3}})^3 + (b^{\frac{1}{3}})^3 = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$

Подставим в дробь:

$\frac{(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}$

Сократим на $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})$:

$a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$

Ответ: $a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$.

7) $\frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}}$

Представим знаменатель как разность кубов: $m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}} = (m^{\frac{1}{2}})^3 - (n^{\frac{1}{2}})^3$.

Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$:

$(m^{\frac{1}{2}})^3 - (n^{\frac{1}{2}})^3 = (m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})((m^{\frac{1}{2}})^2 + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + (n^{\frac{1}{2}})^2) = (m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})(m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n)$

Подставим в дробь:

$\frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})(m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n)}$

Сократим на $(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})$:

$\frac{1}{m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n}$

Ответ: $\frac{1}{m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n}$.

8) $\frac{a^{\frac{3}{4}} + 7a^{\frac{1}{2}}}{a - 49a^{\frac{1}{2}}}$

В числителе вынесем за скобки $a^{\frac{1}{2}}$:

$a^{\frac{3}{4}} + 7a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}} + 7a^{\frac{2}{4}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} + 7)$

В знаменателе вынесем за скобки $a^{\frac{1}{2}}$:

$a - 49a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 49)$

Получим дробь: $\frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} + 7)}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 49)}$

Сократим на $a^{\frac{1}{2}}$: $\frac{a^{\frac{1}{4}} + 7}{a^{\frac{1}{2}} - 49}$

Знаменатель можно разложить как разность квадратов $a^{\frac{1}{2}} - 49 = (a^{\frac{1}{4}})^2 - 7^2 = (a^{\frac{1}{4}} - 7)(a^{\frac{1}{4}} + 7)$.

$\frac{a^{\frac{1}{4}} + 7}{(a^{\frac{1}{4}} - 7)(a^{\frac{1}{4}} + 7)}$

Сократим на $(a^{\frac{1}{4}} + 7)$:

$\frac{1}{a^{\frac{1}{4}} - 7}$

Ответ: $\frac{1}{a^{\frac{1}{4}} - 7}$.

9) $\frac{30^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}}}{10^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}}}$

Разложим числа под знаком корня на множители. В числителе вынесем за скобки общий множитель $6^{\frac{1}{5}}$:

$30^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}} = (5 \cdot 6)^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}} = 5^{\frac{1}{5}} \cdot 6^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}} = 6^{\frac{1}{5}}(5^{\frac{1}{5}} - 1)$

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $2^{\frac{1}{5}}$:

$10^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}} = (5 \cdot 2)^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}} = 5^{\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{1}{5}}(5^{\frac{1}{5}} - 1)$

Подставим разложения в дробь:

$\frac{6^{\frac{1}{5}}(5^{\frac{1}{5}} - 1)}{2^{\frac{1}{5}}(5^{\frac{1}{5}} - 1)}$

Сократим на общий множитель $(5^{\frac{1}{5}} - 1)$:

$\frac{6^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}} = (\frac{6}{2})^{\frac{1}{5}} = 3^{\frac{1}{5}}$

Ответ: $3^{\frac{1}{5}}$.