Номер 23.12, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.12, страница 227.

Условие.

23.12. Раскройте скобки:

1) $(5a^{0.4} + b^{0.2})(3a^{0.4} - 4b^{0.2});$

2) $(m^{0.5} + n^{0.5})(m^{0.5} - n^{0.5});$

3) $(a^{\frac{1}{3}} - 5b^{-\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{3}} + 5b^{-\frac{1}{4}});$

4) $(m^{\frac{1}{2}} - n^2)^2;$

5) $(b^{\frac{4}{3}} - b^{-\frac{2}{3}})^2;$

6) $(x^{\frac{1}{6}} + 2)(x^{\frac{1}{3}} - 2x^{\frac{1}{6}} + 4);$

7) $(y^{1.5} - 4y^{0.5})^2 + 8y^2;$

8) $(a^{\frac{1}{8}} - 1)(a^{\frac{1}{4}} + 1)(a^{\frac{1}{8}} + 1).$

Решение.

1) Для раскрытия скобок умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго:
$(5a^{0,4} + b^{0,2})(3a^{0,4} - 4b^{0,2}) = 5a^{0,4} \cdot 3a^{0,4} + 5a^{0,4} \cdot (-4b^{0,2}) + b^{0,2} \cdot 3a^{0,4} + b^{0,2} \cdot (-4b^{0,2})$
Используем свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$15a^{0,4+0,4} - 20a^{0,4}b^{0,2} + 3a^{0,4}b^{0,2} - 4b^{0,2+0,2} = 15a^{0,8} - 20a^{0,4}b^{0,2} + 3a^{0,4}b^{0,2} - 4b^{0,4}$
Приведем подобные слагаемые:
$15a^{0,8} - 17a^{0,4}b^{0,2} - 4b^{0,4}$
Ответ: $15a^{0,8} - 17a^{0,4}b^{0,2} - 4b^{0,4}$

2) Применим формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.
В данном случае $x = m^{0,5}$ и $y = n^{0,5}$.
$(m^{0,5} + n^{0,5})(m^{0,5} - n^{0,5}) = (m^{0,5})^2 - (n^{0,5})^2$
Используем свойство степеней $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:
$m^{0,5 \cdot 2} - n^{0,5 \cdot 2} = m^1 - n^1 = m - n$
Ответ: $m - n$

3) Воспользуемся формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
Здесь $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = 5b^{-\frac{1}{4}}$.
$(a^{\frac{1}{3}} - 5b^{-\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{3}} + 5b^{-\frac{1}{4}}) = (a^{\frac{1}{3}})^2 - (5b^{-\frac{1}{4}})^2 = a^{\frac{1}{3} \cdot 2} - 5^2 b^{-\frac{1}{4} \cdot 2} = a^{\frac{2}{3}} - 25b^{-\frac{2}{4}} = a^{\frac{2}{3}} - 25b^{-\frac{1}{2}}$
Ответ: $a^{\frac{2}{3}} - 25b^{-\frac{1}{2}}$

4) Применим формулу "квадрат разности": $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x = m^{\frac{1}{2}}$ и $y = n^{\frac{1}{2}}$.
$(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})^2 = (m^{\frac{1}{2}})^2 - 2 \cdot m^{\frac{1}{2}} \cdot n^{\frac{1}{2}} + (n^{\frac{1}{2}})^2 = m^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2} \cdot 2} = m - 2m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n$
Ответ: $m - 2m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n$

5) Воспользуемся формулой квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x = b^{\frac{4}{3}}$ и $y = b^{-\frac{2}{3}}$.
$(b^{\frac{4}{3}} - b^{-\frac{2}{3}})^2 = (b^{\frac{4}{3}})^2 - 2 \cdot b^{\frac{4}{3}} \cdot b^{-\frac{2}{3}} + (b^{-\frac{2}{3}})^2 = b^{\frac{4}{3} \cdot 2} - 2b^{\frac{4}{3} - \frac{2}{3}} + b^{-\frac{2}{3} \cdot 2} = b^{\frac{8}{3}} - 2b^{\frac{2}{3}} + b^{-\frac{4}{3}}$
Ответ: $b^{\frac{8}{3}} - 2b^{\frac{2}{3}} + b^{-\frac{4}{3}}$

6) Данное выражение соответствует формуле суммы кубов: $(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.
Проверим, положив $a = x^{\frac{1}{6}}$ и $b = 2$.
Тогда $a^2 = (x^{\frac{1}{6}})^2 = x^{\frac{2}{6}} = x^{\frac{1}{3}}$, $ab = x^{\frac{1}{6}} \cdot 2 = 2x^{\frac{1}{6}}$, $b^2 = 2^2 = 4$.
Второй множитель $(x^{\frac{1}{3}} - 2x^{\frac{1}{6}} + 4)$ соответствует виду $(a^2 - ab + b^2)$.
Применяем формулу:
$(x^{\frac{1}{6}} + 2)(x^{\frac{1}{3}} - 2x^{\frac{1}{6}} + 4) = (x^{\frac{1}{6}})^3 + 2^3 = x^{\frac{3}{6}} + 8 = x^{\frac{1}{2}} + 8$
Ответ: $x^{\frac{1}{2}} + 8$

7) Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = y^{1,5}$ и $b = 4y^{0,5}$.
$(y^{1,5} - 4y^{0,5})^2 + 8y^2 = ((y^{1,5})^2 - 2 \cdot y^{1,5} \cdot 4y^{0,5} + (4y^{0,5})^2) + 8y^2$
$= (y^{1,5 \cdot 2} - 8y^{1,5+0,5} + 16y^{0,5 \cdot 2}) + 8y^2 = (y^3 - 8y^2 + 16y) + 8y^2$
Приведем подобные слагаемые:
$y^3 - 8y^2 + 16y + 8y^2 = y^3 + 16y$
Ответ: $y^3 + 16y$

8) Перегруппируем множители для удобства:
$(a^{\frac{1}{8}} - 1)(a^{\frac{1}{4}} + 1)(a^{\frac{1}{8}} + 1) = \left((a^{\frac{1}{8}} - 1)(a^{\frac{1}{8}} + 1)\right)(a^{\frac{1}{4}} + 1)$
Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ к первым двум множителям:
$(a^{\frac{1}{8}})^2 - 1^2 = a^{\frac{2}{8}} - 1 = a^{\frac{1}{4}} - 1$
Теперь выражение имеет вид:
$(a^{\frac{1}{4}} - 1)(a^{\frac{1}{4}} + 1)$
Снова применяем формулу разности квадратов:
$(a^{\frac{1}{4}})^2 - 1^2 = a^{\frac{2}{4}} - 1 = a^{\frac{1}{2}} - 1$
Ответ: $a^{\frac{1}{2}} - 1$