Номер 23.7, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.7, страница 226.

Условие.

23.7. Найдите значение выражения:

1) $(5^{-0,8})^6 \cdot 5^{4,8}$;

2) $\left(\frac{1}{49}\right)^{-1,5}$;

3) $\left(\frac{7}{10}\right)^{\frac{1}{3}} \cdot \left(\frac{1}{700}\right)^{\frac{1}{3}};$

4) $\frac{8^2}{2^{\frac{1}{2}}}$;

5) $36^{0,4} \cdot 6^{1,2}$;

6) $\left(4^{-\frac{1}{8}}\right)^{1,6} \cdot 16^{0,6}$.

Решение.

1) $(5^{-0,8})^6 \cdot 5^{4,8}$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для первого множителя:
$(5^{-0,8})^6 = 5^{-0,8 \cdot 6} = 5^{-4,8}$
Теперь выражение выглядит так:
$5^{-4,8} \cdot 5^{4,8}$
Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$5^{-4,8 + 4,8} = 5^0$
Любое число в нулевой степени равно 1:
$5^0 = 1$

Ответ: 1

2) $(\frac{1}{49})^{-1,5}$

Представим основание и показатель степени в более удобном виде:
$\frac{1}{49} = 49^{-1} = (7^2)^{-1} = 7^{-2}$
$-1,5 = -\frac{3}{2}$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$(7^{-2})^{-\frac{3}{2}}$
Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$7^{(-2) \cdot (-\frac{3}{2})} = 7^3$
Вычислим значение:
$7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$

Ответ: 343

3) $(\frac{7}{10})^{-\frac{1}{3}} \cdot (\frac{1}{700})^{-\frac{1}{3}}$

Так как показатели степеней одинаковы, воспользуемся свойством $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:
$(\frac{7}{10} \cdot \frac{1}{700})^{-\frac{1}{3}}$
Выполним умножение в скобках:
$\frac{7}{10 \cdot 700} = \frac{7}{7000} = \frac{1}{1000}$
Выражение принимает вид:
$(\frac{1}{1000})^{-\frac{1}{3}}$
Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{1000}{1})^{\frac{1}{3}} = 1000^{\frac{1}{3}}$
Дробный показатель степени $\frac{1}{3}$ означает кубический корень:
$\sqrt[3]{1000} = 10$

Ответ: 10

4) $\frac{8^{2\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

Преобразуем смешанную дробь в показателе степени в неправильную: $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
Выражение примет вид:
$\frac{8^{\frac{5}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$
Представим основание 8 как степень числа 2: $8 = 2^3$.
$\frac{(2^3)^{\frac{5}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$
Применяем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к числителю:
$2^{3 \cdot \frac{5}{2}} = 2^{\frac{15}{2}}$
Теперь разделим степени с одинаковым основанием, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{2^{\frac{15}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}} = 2^{\frac{15}{2} - \frac{1}{2}} = 2^{\frac{14}{2}} = 2^7$
Вычислим результат:
$2^7 = 128$

Ответ: 128

5) $36^{0,4} \cdot 6^{1,2}$

Представим основание 36 как степень числа 6: $36 = 6^2$.
$(6^2)^{0,4} \cdot 6^{1,2}$
Применяем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$6^{2 \cdot 0,4} \cdot 6^{1,2} = 6^{0,8} \cdot 6^{1,2}$
Теперь используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$6^{0,8 + 1,2} = 6^2$
Вычислим результат:
$6^2 = 36$

Ответ: 36

6) $(4^{\frac{1}{8}})^{1,6} \cdot 16^{0,6}$

Применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к первому множителю:
$(4^{\frac{1}{8}})^{1,6} = 4^{\frac{1}{8} \cdot 1,6} = 4^{\frac{1,6}{8}} = 4^{0,2}$
Выражение принимает вид:
$4^{0,2} \cdot 16^{0,6}$
Приведем оба основания к степени числа 2: $4 = 2^2$ и $16 = 2^4$.
$(2^2)^{0,2} \cdot (2^4)^{0,6}$
Снова применяем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$2^{2 \cdot 0,2} \cdot 2^{4 \cdot 0,6} = 2^{0,4} \cdot 2^{2,4}$
Применяем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$2^{0,4 + 2,4} = 2^{2,8}$
Представим десятичную дробь в показателе в виде обыкновенной дроби:
$2,8 = \frac{28}{10} = \frac{14}{5}$
Таким образом, значение выражения равно $2^{\frac{14}{5}}$. Это можно также записать в виде корня:
$2^{\frac{14}{5}} = 2^{2 + \frac{4}{5}} = 2^2 \cdot 2^{\frac{4}{5}} = 4 \sqrt[5]{2^4} = 4\sqrt[5]{16}$

Ответ: $2^{2,8}$ (или $4\sqrt[5]{16}$)